Cálculo integral Actividad Proyecto de investigación “Series”

Instituto Tecnológico de Chetumal[pic 1][pic 2]

Alumna:

Yesenia Nayrovick Hernández Montero

Grupo:                                         Especialidad:

1-VA                                    Ingeniería civil

Profesor:

Ing. Víctor Manuel Ku Chuch

Asignatura:

Cálculo integral

Actividad

Proyecto de investigación “Series”

Fecha de entrega:

7/01/15

Calificación:

_______________________. 

Índice

                                                                Páginas

4.1 Definición de serie        3

4.1.1 Finita        4-5

4.1.2 Infinita        5-6

4.2 Serie numérica y convergencia. Prueba de la razón (Criterio de D’Alembert) y prueba de la raíz (Criterio de Caudry)        6-13

4.3 Serie de potencias        14

4.4 Radio de convergencia        15-17

4.5 Serie de Taylor        18-25

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor        26-29

4.7 Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor        30-31

Bibliografía        32

SERIES

• 4.1 Definición de serie

Una serie es un conjunto de cosas que tienen una relación entre sí y que se suceden unas a otras. Por ejemplo: “Una serie de malos resultados desencadenó el despido del entrenador”

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de una sucesión de términos

Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería y matemática es la serie geométrica r+++…+, donde indica que la serie continua indefinidamente.[pic 3][pic 4][pic 5]

Donde n es el número de términos,  es el primer término y r es la relación común[pic 6]

            [pic 7][pic 8]

CARÁCTER DE UN SERIE

• Convergente: Cuando la suma es un número real
• Divergente: Cuando la suma da + o – infinito
• Oscilante: Cuando no es ninguna de la anteriores

Una serie , es convergente si sólo si  existe. Caso contrario, cuando éste no exista, se dice que es divergente.[pic 9][pic 10]

Si  diverge y C es un constante diferente de cero, entonces la serie C, también diverge.[pic 11][pic 12]

[pic 13]   [pic 14]

• 4.1.1 Finita

Las series son sucesiones ordenadas de elementos que mantienen una relación entre sí. Finito, por su parte, es aquello que dispone de límite o fin.

Como se puede advertir al analizar estas definiciones, una serie finita es una sucesión que tiene final. Esta característica diferencia a las series finitas de las series infinitas, que no cuentan con un fin (y, por lo tanto, pueden extenderse o prolongarse indefinidamente).[pic 15]

Si pensamos en una serie numérica (una serie compuesta por números), podemos encontrar muchos ejemplos de series finitas. Estas series tienen un primer y un último término que ya están definidos. 

De este modo, si tomamos una serie numérica formada por los números positivos pares de un solo dígito, encontraremos que se trata de una serie finita cuyos componentes son 2, 4, 6 y 8. La serie es finita ya que el primer número positivo par es 2 y el último número positivo par de un solo dígito es 8. El resto de los números pares (10, 12, 14…) tienen más de un dígito y, por lo tanto, no corresponden a la serie numérica mencionada.

Las series finitas también pueden ser descendentes. Una serie finita descendente de números positivos múltiplos de 3 que tenga como número más grande al 15 será la siguiente: 15, 12, 9, 6 y 3.

En el caso del 0, el número suele prestarse a confusiones. El 0 es considerado como un número par ya que cumple con la condición de paridad: todo número entero que es múltiplo de 2 es par (2 x 0 = 0). En cambio, el 0 no se lo suele calificar como un número positivo, sino que se lo considera como un número neutro. Por eso no forma parte de las series finitas que mencionamos como ejemplos.

• 4.1.2 Infinita

Una serie es una sucesión de elementos que, ordenados, mantienen un cierto vínculo entre sí. La noción de infinito, por su parte, se vincula a aquello que carece de fin.

Una serie infinita, por lo tanto, es una seguidilla de unidades que no tiene final. El concepto opuesto es el de serie finita, que se caracteriza por finalizar en un determinado momento.

Podemos comprender la noción de serie infinita si pensamos en ciertas series numéricas. Tomemos el caso de la serie numérica compuesta por los números múltiplos de 2. Dicha serie es una serie infinita ya que los números múltiplos de 2 son infinitos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…

Puede entenderse a las series como conjuntos. La serie numérica de números positivos impares menores a 10, en este sentido, es el conjunto que incluye los números 1, 3, 5, 7 y 9. Como se puede advertir, se trata de una serie finita. En cambio, si quisiéramos hacer referencia a la serie de números impares, será una serie infinita: un conjunto con componentes infinitos.

Dado que los números son infinitos, podemos enumerar todo tipo de series numéricas infinitas. Incluso es posible considerar series infinitas descendentes: por ejemplo, si mencionamos la serie compuesta por los números menores a 1: 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6…

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