Cálculo integral Actividad Proyecto de investigación “Series”

Instituto Tecnológico de Chetumal[pic 1][pic 2]

Alumna:

Yesenia Nayrovick Hernández Montero

Grupo:                                         Especialidad:

1-VA                                    Ingeniería civil

Profesor:

Ing. Víctor Manuel Ku Chuch

Asignatura:

Cálculo integral

Actividad

Proyecto de investigación “Series”

Fecha de entrega:

7/01/15

Calificación:

_______________________. 

Índice

                                                                Páginas

4.1 Definición de serie        3

4.1.1 Finita        4-5

4.1.2 Infinita        5-6

4.2 Serie numérica y convergencia. Prueba de la razón (Criterio de D’Alembert) y prueba de la raíz (Criterio de Caudry)        6-13

4.3 Serie de potencias        14

4.4 Radio de convergencia        15-17

4.5 Serie de Taylor        18-25

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor        26-29

4.7 Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor        30-31

Bibliografía        32

SERIES

• 4.1 Definición de serie

Una serie es un conjunto de cosas que tienen una relación entre sí y que se suceden unas a otras. Por ejemplo: “Una serie de malos resultados desencadenó el despido del entrenador”

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de una sucesión de términos

Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería y matemática es la serie geométrica r+++…+, donde indica que la serie continua indefinidamente.[pic 3][pic 4][pic 5]

Donde n es el número de términos,  es el primer término y r es la relación común[pic 6]

            [pic 7][pic 8]

CARÁCTER DE UN SERIE

• Convergente: Cuando la suma es un número real
• Divergente: Cuando la suma da + o – infinito
• Oscilante: Cuando no es ninguna de la anteriores

Una serie , es convergente si sólo si  existe. Caso contrario, cuando éste no exista, se dice que es divergente.[pic 9][pic 10]

Si  diverge y C es un constante diferente de cero, entonces la serie C, también diverge.[pic 11][pic 12]

[pic 13]   [pic 14]

• 4.1.1 Finita

Las series son sucesiones ordenadas de elementos que mantienen una relación entre sí. Finito, por su parte, es aquello que dispone de límite o fin.

Como se puede advertir al analizar estas definiciones, una serie finita es una sucesión que tiene final. Esta característica diferencia a las series finitas de las series infinitas, que no cuentan con un fin (y, por lo tanto, pueden extenderse o prolongarse indefinidamente).[pic 15]

Si pensamos en una serie numérica (una serie compuesta por números), podemos encontrar muchos ejemplos de series finitas. Estas series tienen un primer y un último término que ya están definidos. 

De este modo, si tomamos una serie numérica formada por los números positivos pares de un solo dígito, encontraremos que se trata de una serie finita cuyos componentes son 2, 4, 6 y 8. La serie es finita ya que el primer número positivo par es 2 y el último número positivo par de un solo dígito es 8. El resto de los números pares (10, 12, 14…) tienen más de un dígito y, por lo tanto, no corresponden a la serie numérica mencionada.

Las series finitas también pueden ser descendentes. Una serie finita descendente de números positivos múltiplos de 3 que tenga como número más grande al 15 será la siguiente: 15, 12, 9, 6 y 3.

En el caso del 0, el número suele prestarse a confusiones. El 0 es considerado como un número par ya que cumple con la condición de paridad: todo número entero que es múltiplo de 2 es par (2 x 0 = 0). En cambio, el 0 no se lo suele calificar como un número positivo, sino que se lo considera como un número neutro. Por eso no forma parte de las series finitas que mencionamos como ejemplos.

• 4.1.2 Infinita

Una serie es una sucesión de elementos que, ordenados, mantienen un cierto vínculo entre sí. La noción de infinito, por su parte, se vincula a aquello que carece de fin.

Una serie infinita, por lo tanto, es una seguidilla de unidades que no tiene final. El concepto opuesto es el de serie finita, que se caracteriza por finalizar en un determinado momento.

Podemos comprender la noción de serie infinita si pensamos en ciertas series numéricas. Tomemos el caso de la serie numérica compuesta por los números múltiplos de 2. Dicha serie es una serie infinita ya que los números múltiplos de 2 son infinitos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…

Puede entenderse a las series como conjuntos. La serie numérica de números positivos impares menores a 10, en este sentido, es el conjunto que incluye los números 1, 3, 5, 7 y 9. Como se puede advertir, se trata de una serie finita. En cambio, si quisiéramos hacer referencia a la serie de números impares, será una serie infinita: un conjunto con componentes infinitos.

Dado que los números son infinitos, podemos enumerar todo tipo de series numéricas infinitas. Incluso es posible considerar series infinitas descendentes: por ejemplo, si mencionamos la serie compuesta por los números menores a 1: 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6…

Lo habitual es que, en el ámbito de las matemáticas, las series infinitas surjan a partir de diferentes algoritmos, fórmulas o reglas. De este modo las series infinitas pueden servir para la representación de funciones.

• 4.2 Serie numérica y convergencia. Prueba de la razón (Criterio de D’Alembert) y prueba de la raíz (Criterio de Caudry)

SERIE NUMÉRICA

Una serie es una sucesión ordenada de elementos que guardan un vínculo entre sí. Numérico, por su parte, es aquello vinculado a los números.

Con estas definiciones en claro, podemos comprender a qué se refiere el concepto de serie numérica: se trata de una seguidilla de números. Puede entenderse, por lo tanto, como un conjunto ordenado de números.

Como los números son infinitos, la cantidad de series numéricas que pueden crearse también lo son. Supongamos que alguien desea detallar una serie numérica de números pares: dicha serie nunca tendrá final.

Las series numéricas, de todos modos, suelen acotarse a ciertos parámetros o instrucciones. Es habitual que los docentes pidan a sus alumnos que detallen los componentes de ciertas series numéricas a modo de ejercicio.

De este modo, un ejercicio de matemática puede pedir a los estudiantes que mencionen los componentes de una serie numérica de números impares cuyo número menor es 3 y su número mayor es 9. Esta serie numérica estará formada por 3, 5, 7 y 9.

En un sentido similar, una serie numérica de 5 en 5 que comience en 5 y llegue hasta 40 estará compuesta por los siguientes números: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 y 40.

Las series numéricas pueden ser ascendentes o descendentes. En los ejemplos mencionados anteriormente, las series eran ascendentes: iban del número menor al mayor. Una serie numérica descendente de números reales positivos y pares que comience en 12 sería la siguiente: 12, 10, 8, 6, 4 y 2.

SERIE DE CONVERGENCIA

En matemáticas, una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.

Las series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espacio vectorial normado).

La serie de término general  converge cuando la sucesión  de sumas parciales converge, donde para todo entero natural n, [pic 16][pic 17][pic 18]

En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales [pic 19]

La naturaleza de convergencia o no-convergencia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de términos de la serie.

• Ejemplos

Resultan convergentes las series de las secuencias:

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