SOLUCION DE PROBLEMAS LECCION 11 GRUPO N14

UNIDAD III: PROBLEMA DE RELACIONES CON DOS VARIABLES.

JUSTIFICACIÓN

En la presente lección se plantean problemas que involucran relaciones simultáneas entre dos variables se pide una respuesta que corresponda a una tercera variable que resulta de las relaciones previamente mencionadas. En este tipo de problemas la estrategia más apropiada para obtener las soluciones es la construcción de tablas.

De las tres variables que se dan, dos son cualitativas y permiten construir la tabla y la tercera puede ser cualitativa, cuantitativa o lógica, según el tipo de respuesta que se pide encontrar y los datos dados del problema. Esta tercera variable siempre está incluida en la pregunta del problema y se utiliza para llenar las celdas o los cuadros de la tabla.

Las lecciones de esta unidad se refieren a los tres tipos de problemas antes mencionados: relaciones numéricas, relaciones lógicas entre dos o más variables y relaciones entre conceptos. El primer tipo de problema se resuelve mediante la construcción de tablas numéricas; el segundo tipo de problema se apoya en las tablas lógicas y el tercer tipo se trabaja con tablas semánticas o conceptuales; en el primer tipo de tablas se registran en las celdas cantidades o números, en el segundo tipo relaciones lógicas y en el tercero conceptos.

Las tablas son instrumentos muy útiles para resolver problemas pues permiten organizar la información, visualizar el problema y constituyen una especie de memoria externa que nos ayuda a mantener el record de algunos elementos de información que a veces deben de postergarse para relacionarse con datos que se dan posteriormente o que se infieren durante el proceso de resolución de los problemas.

OBJETIVOS:

A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:

1. Reconocer los tres tipos de problemas que se estudian en la lección y las estrategias más apropiadas para resolverlos

2. Aplicar apropiadamente las estrategias para resolver problemas mediante tablas numéricas, lógicas y conceptuales.

3. Resolver problemas que involucren dos o más variables simultáneamente

LECCION 5.-

PROBLEMAS DE TABLAS NUMERICAS

INTRODUCCIÓN

¿Sobre qué trato la unidad anterior?

Se trato sobre temas temas de relaciones con una variable.

¿Qué tipos de relaciones se usaban en los problemas de la unidad anterior?

Se usaron relaciones de parte todo, familiares y de orden

¿Qué tienen en común todas los tipos de estrategias que vivimos en la unidad anterior?

Que todas sirven para llegar a una respuesta.

¿Cómo eran los diagramas en los problemas de relación parte-todo y relaciones familiares?

Eran de relaciones familiares o de intercambio

¿En qué consiste la estrategia de representación en una dimensión?

Consiste en representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto

¿Cómo eran los diagramas en los problemas de relaciones de orden?

Eran de relaciones familiares o de intercambio.

¿En qué consiste la estrategia de postergación de la solución de un problema?

Consiste en dejar para mas tarde aquellos datos que parezcan incompletos.

Presentación del proceso.

En esta lección continuamos el estudio de estrategias para la solución de problemas. Veamos a continuación otro ejemplo de problema.

Ejercicio 1. Rita, Elsa y Pedro tienen un club para compartir discos de música y películas. Entre los tres tienen 20 objetos de los cuales 14 son discos de música y 6 películas. Rita tiene 3 discos de música y Elsa tiene el mismo número de películas. Elsa tiene en total 3 objetos más que Rita. ¿Cuántos objetos de discos de música tiene Elsa, y cuantos objetos tipo películas tiene Pedro si Rita tiene 5 objetos en total?

Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante, Por lo tanto, estamos ante un problema. Inmediatamente podemos observar dos cosas primero, que la información no está suministrada en términos de relaciones de orden; y segundo, que la variable central es número de objetos y requiero de dos calificativos para poder precisarlo, el tipo de objeto y la persona a la cual pertenecen los objetos.

De lo expuesto anteriormente podemos concluir que la estrategia “repesentacion en una dimension” nos sirve. La razon principal es que la variable cuantitativa depende de dos variables. Por ejemplo, el primer 3 son objetos de Rita y son del tipodisco de musica. Para resolver esto podriamos pensar en una cuadricula por un lado ponemos el dueño y por otro lado ponemos el tipo de objetos, y en el centro el numero de objetos. Veamos lo que quiere decir:

Nombres

Tipo de

objetos Rita Elsa Pedro

Discos de música 3

Películas

En cada cuadro sombreado puedo colocar el número de objeto, del tipo a que corresponde y de la persona a que pertenece. Sin embargo, en el problema hablan de un total de discos de música o del total de objetos de una de las personas. Para representar esto podríamos añadir otra línea vertical de cuadro que llamamos “columna” y otro línea de cuadros horizontales que llamamos “fila” las cuales sirvieran para colocar los totales. En el caso de las columnas, la el recuadro o celda inferior correspondería al total de objetos de la persona que encabeza la columna; y en el caso de las filas, las celdas del lado derecho correspondería al total de objetos del tipo de objeto indicado en el lado izquierdo. La celda en el extremo inferior derecho es como un total de totales, o, simplemente el número total de objetos sin distingos de tipo o dueño. El nuevo recuadro quedaría como sigue:

Nombres

Tipo de

objetos Rita Elsa Pedro Total

Discos de música

Películas

Total

Ahora leemos el problema parte por parte, y vaciamos la información del problema en el cuadro que tenemos preparado.

Nombres

Tipo de

objetos Rita Elsa Pedro Total

Discos de música 3 14

Películas 3 6

Total X X+3 20

Todas las informaciones pueden asentarse en el cuadro. Solamente la última información dice que “Elsa tiene en total tres objetos más que Rita”, Como no sabemos el total de objetos de Rita, ponemos una X para recordar la información. Esto no es más que una aplicación de la estrategia de postergación que habíamos estudiado en la unidad anterior a este tipo de problemas.

Cuando leemos la pregunta nos informa que la solución que buscamos es para el caso que Rita tenga en total 5 objetos. Ahora podemos cambiar la X por un 5, y la X+3 por un 8.

Nombres

Tipo de

objetos Rita Elsa Pedro Total

Discos de música 3 14

Películas 3 6

Total 5 8 20

Los recuadros o celdas no están aún llenas podemos calcularlos recordando que los totales son las sumas de las filas o columnas. Así, Si Rita tiene 5 objetos y 3 son discos de música, entonces tiene 2 películas. Si Elsa tiene 8 objetos y 3 son películas, entonces tiene 5 discos de música. Si Rita y Elsa tienen 2 y 3 películas respectivamente, y el total de películas es de 6, entonces Pedro debe tener una película. Haciendo esto para todas las celdas, completamos todas las celdas del recuadro y queda como sigue:

Nombres

Tipo de

objetos Rita Elsa Pedro Total

Discos de música 3 5 6 14

Películas 2 3 1 6

Total 5 8 7 20

Ahora podemos contestar las preguntas inspeccionando el recuadro. Elsa tiene 5 discos de música y Pedro tiene 1 película. Antes de concluir, verificamos que hemos vaciado correctamente los datos, que las operaciones han sido correctamente realizadas y la inspección es la que corresponde.

La búsqueda de una respuesta para este problema nos permite formalizar una nueva estrategia para la solución de problemas en los cuales existe dependencia de dos variables. El recuadro estructura la estrategia lo denominamos tabla numérica, y la estrategia de solución del problema la llamamos representación en dos dimensiones.

A diferencia de los problemas formuladas con una variable cuantitativa dependiente, una variable cualitativa independiente y relaciones de orden entre las características que resolvimos en la unidad anterior, ahora se trata de problemas con una variable cuantitativa dependiente, dos variables cualitativas independientes y relaciones que definen características de la variable dependiente. Antes era relaciones de orden producto de comparaciones relativas del tipo “Pedro es más alto que José”, ahora son relaciones absolutas que definen las características de la variable cuantitativa del tipo “El número de películas de Elsa es 3”.

La estrategia particular (a la que se hace referencia en el paso 4 de procedimiento para resolver un problema de la lección 2) que se utiliza en este caso es la representación mediante tablas numéricas; las tablas son reticulados que tienen filas y columnas, las cuales determinan celdas. En las filas y las columnas se representan los tipos de variables consideradas, y en las celdas sombreadas con gris se insertan los números que son la característica de la variable dependiente. Estos valores son producto de las relaciones absolutas con las características correspondientes al par de variables independientes. Las celdas en el entorno exterior a la zona sombreada corresponden a totalizaciones de filas y columnas, que es una característica propia de estas tablas. Recorriendo la totalidad de celdas en la tabla podemos visualizar y relacionar todos los posibles valores dados en la tabla, obtener datos faltantes y responder la pregunta del problema.

Estrategia de representación en dos dimensiones: tabla numérica.

Esta es la estrategia aplicada en problemas cuya variable central cuantitativa depende de dos variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una representación gráfica o tabula llamada “tabla numérica”.

Practica del proceso.

Practica 1.Elena, María y Susana estudian tres idiomas (francés, italiano y alemán), y entre las tres tienen 16 libros de consultas. De los cuatros libros de Elena, la mitad son de francés y uno es de italiano. María tiene la misma cantidad de libros de Elena, pero solo tiene la mitad de los libros de francés y la misma cantidad de libros de italiano que Elena. Susana tiene tres libros de alemán, pero en cambio tiene tantos libros de italiano como libros de alemán tiene María. ¿Cuántos libros de francés tiene Susana y cuántos libros de cada idioma tienen entre todas?

¿De qué se trata el problema?

Se trata del número de libros de cada chica

¿Cuál es la pregunta?

Cuantos libros de francés tienen Susana y cuántos libros de cada idioma tienen entre todas es la pregunta.

¿Cuál es la variable dependiente?

La variable dependiente es el número de libros.

¿Cuáles son las variables independientes?

Las variables independientes son los idiomas

Representación

Nombres

Libros de

Consulta Elena María Susana Total

Francés 2 1 3 6

Italiano 1 1 2 4

Alemán 1 2 3 6

Total 4 4 8 16

Respuesta.

Susana tiene tres libros de francés.

El total de libros de francés es de seis.

El total de libros de italiano es de cuatro.

El total de libros de alemán es de seis.

Practica 2.Tres muchachas Nelly, Estela, y Alicia tienen en conjunto 30 prendas de vestir de las cuales 15 son blusas y el resto son faldas y pantalones. Nelly tiene tres blusas y tres faldas, Alicia que tiene 8 prendas de vestir tiene 4 blusas. El número de pantalones de Nelly es igual al de blusas que tiene Alicia. Estela tiene tantos pantalones como blusas tiene Nelly.

La cantidad de pantalones que posee Alicia es la misma que la de blusas de Nelly ¿Cuántas faldas tiene Estela?

¿De qué trata el problema?

El problema trata del número de prendas que tiene cada chica

¿Cuál es la pregunta?

Cuántas faldas tiene Estela es la pregunta

¿Cuál es la variable dependiente?

La variable dependiente es el número de prendas

¿Cuáles son las variables independientes?

Las variables independientes son los nombres

Representación:

Nombres

Prendas

de vestir Nelly Estela Alicia Total

Blusas 3 8 4 15

Faldas 3 1 1 5

Pantalones 4 3 3 10

Total 10 12 8 30

Respuesta: Estela tiene una falda

Las tablas numéricas.

Las tablas numéricas son representaciones graficas que nos permiten visualizar una variable cuantitativa que depende de dos variables cualitativas. Una consecuenica de la representación sea de una variable cuantitaiva es que se pueden hacer totalizaciones (sumas) de columnas y filas. Este hecho enriquece considerablemente el problema porque abre la posibilidad de generar, adicionalmente, representaciones de una dimensión entre cualquier de las dos variables cualitativas y la variable cuantitativa. También a deducir valores faltantes usando operaciones aritméticas.

Practica 3. Las hijas del senñor Gonzalez, Clara, Isabel y Belinda tienen 9 pulseras y 6 anillos es decir un total de 15 accesorios personales. Clara tiene 3 anillos. Isabel tiene tantas pulseras como anillos tiene Clara, en total, tiene un accesorio mas que clara que tiene 4 ¿Cuántas pulseras tiene Clara y Belinda?

¿De qué trata el problema?

Trata de los accesorios de las hijas del señor González

¿Cuál es la pregunta?

Cuantas pulsera tiene Clara y Belinda es la pregunta.

¿Cuál es la variable dependiente?

La variable dependiente es el número de accesorios de cada una.

¿Cuáles son las variables independientes?

Las variables independientes son los accesorios

Representación:

nombres

Accesorios Clara Isabel Belinda Total

Pulsera 1 3 5 9

Anillos 3 2 1 6

Total 4 5 6 15

Respuesta: Clara tiene una pulsera y Belinda tiene 5.

Tablas numéricas con ceros.

En algunos casos ocurre que para algunas celdas no se tienen elementos asignados. Por ejemplo, si hablamos de hijas de hijos en varios matrimonios, y decimos que Yolanda es la hija única del matrimonio Pérez , eso no significa que la celda de hijos correspondiente al matrimonio Pérez esta vacía o le falta información , lo que significa es que a esa celda le corresponde el valor número ” 0 ” cero , porque al ser Yolanda hija única significa que los Pérez tiene una sola hija , y es hembra .A veces confundimos erróneamente la ausencia de elemento en una celda con una falta de información; si hay ausencia de elementos ,entonces la información es que son cero elementos .

Vamos a continuar nuestra practica incluyendo problemas donde se presentan celdas a las que no nles corresponden elementos, por lo tanto, deben ser llenadas con el valor numérico cero.

Practica 4.Tres matrimonios, de apellidos Pérez, Gómez García, tienen en total 10 hijos. Yolanda, que es la hija de los Pérez, tiene solo una hermana y no tiene hermanos. Los Gómez tienen un hijo varón y un par e hijas. Con la experiencia de María, todos los otros hijos del matrimonio García son varones. ¿Cuántos hijos varones tienen los García?

¿De qué trata el problema?

El problema trata del número total de hijos de 3 matrimonios

¿Cuál es la pregunta?

Cuántos hijos varones tienen los García es la pregunta

¿Cuál es la variable dependiente?

La variable dependiente es el número de hijos

¿Cuáles son las variables independientes?

La variable independiente son los Apellidos.

Representación:

nombres

# de

prendas

de vestir Nelly Estela Alicia Total

Blusas 3 8 4 15

Faldas 3 1 1 5

Pantalones 4 3 3 10

Total 10 12 8 30

Respuesta: Los García tienen 4 hijos varones

Práctica 6.Jorge romero metió 6 goles durante la temporada de futbol de 2006 y 6 en la del 2009.en 2007 y 2008 no le fue tan bien, de modo que durante los 4 años (2006 a 2009) metió un total de 15 goles. Pedro Vidal metió 14 goles en 2007 y la mitad en 2009 .su total para los 4 años fue de 21 goles. Enrique Pérez metió tanto goles en 2008 como Vidal metió en los 4 años, pero en las otras temporadas no le fue mejor que a pedro en 2006. Entre los tres en 2008 metieron 22 goles ¿Cuántos goles metieron entre los tres en 2007?

¿De qué trata el problema?

Se trata de los números de goles que metieron durante la temporada.

¿Cuál es la pregunta?

Cuantos goles metieron entre los tres en 2007 es la pregunta

¿Cuál es la variable dependiente?

La variable dependiente es el número de goles de la temporada

¿Cuáles son las variables independientes?

Las variables independientes son los nombres

Representación:

nombres

# de

prendas

de vestir Jorge

Romero Pedro

Vidal Enrique

Perez Total

2006 6 0 0 6

2007 2 14 0 16

2008 1 0 21 22

2009 6 7 0 13

Total 15 21 21 57

Respuesta: Entre los tres metieron 16 goles en el 2007

Practica 7.Milton, Mortus y Nartis tienen en total 20 mascotas. Milton tiene tres sapos y la misma cantidad de arañas que de murciélagos .Mortus tiene tantas arañas como Milton sapos y murciélagos .Nartis tiene 5 mascotas, una es murciélago y tiene la misma cantidad de sapos que Mortus,que es el mismo número de murciélagos que Milton .Si Milton tiene 7 mascotas ¿Cuántas y que clase de mascotas tiene cada uno?

¿De qué trata el problema?

El problema trata del total de mascotas

¿Cuál es la pregunta?

Cuantas y que clases de mascotas tiene cada uno es la pregunta

¿Cuál es la variable dependiente?

La variable dependiente es el número de mascotas

¿Cuáles son las variables independientes?

Las variables independientes son los nombres de las personas

Representaciones:

Representación:

Nombres

Animales Milton Mortus Nartis Total

Sapos 3 2 2 7

Arañas 2 5 2 9

Murciélagos 2 1 1 4

Total 7 8 5 20

Respuestas:

¿Cómo denominar una tabla?

Una de las variables independientes es desplegada en los encabezados de las columnas, mientras que la otra variable es desplegada como inicio de las filas. Y la variable dependiente es desarrollada en las celdas de la región reticular definida por el cruce de columnas y filas .por esta razón se habla que las tablas tienen dos entradas una por las columnas y otra por las filas.

El título de una tabla esta determinado por la variable dependiente que se visualiza, y se complementa con las variables independientes que caracteriza los valores del cuerpo de la tabla .así, la tabla de la práctica de esta lección se denomina de la siguiente manera.

“Numero de libros en función de dueño e idioma”

Cierre

¿Qué clase de problemas estudiamos en esta lección?

Estudiamos los problemas de relaciones con dos variables

¿Qué hicimos para resolver los problemas de este tipo?

Realizamos tablas numéricas

¿Cómo se llama la estrategia desarrollada en esta lección?

La estrategia usada fue la representación mediante tablas numéricas

¿Qué hacemos cuando determinamos que una celda no tiene elementos?

Buscamos las alternativas para completar la tabla.

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