Secciones cónicas y trazas

Índice

Marco Teórico……………………………………………………………………………………………. 1

Cónicas y trazas…………………………………………………………………………………………. 2 - ¿Qué son?.................................................................................................................................. 2 - ¿Para qué se utilizan?................................................................................................................ 5 - ¿Por qué estudiarlas?................................................................................................................ 6 - ¿En dónde se aplican?............................................................................................................... 6 - ¿Por qué conocerlas e incluirlas en el cálculo multivariable?.................................................... 7 - ¿Conclusión de como las utilizarías en el estudio de la biotecnología?.................................... 8

Referencias Bibliográficas……………………………………………………………………………… 8

Marco teórico

La ingeniería matemática es una rama de las matemáticas aplicadas y donde se ocupan métodos y técnicas matemáticos comúnmente utilizados en ingeniería e industria, donde estos campos como la física de la ingeniería y la geología podían entrar dentro de la categoría más amplia de la ingeniería, las matemáticas de la ingeniería son una disciplina interdisciplinaria motivada por la necesidad de los ingenieros de resolver restricciones por razones prácticas, teóricas para realizar un trabajo eficientemente. Es la aplicación de las matemáticas a problemas complejos del mundo real. Combina teoría matemática, ingeniería práctica y computación científica para resolver los problemas tecnológicos actuales. Al igual es conocida como la disciplina creativa y emocionante que trasciende los límites tradicionales. Los ingenieros matemáticos se pueden encontrar en una amplia gama de materias universitarias.

Históricamente, las matemáticas de ingeniería consistían principalmente en análisis aplicado en particular: ecuaciones diferenciales, análisis de números reales y complejos (incluidos análisis vectorial y tensorial), teoría de aproximación (interpretación generalizada, incluidos análisis asintótico, variaciones y numérico), análisis de Fourier; Teoría latente y álgebra lineal y probabilidad aplicada. Existe una gran variedad entre las habilidades matemáticas requeridas por los ingenieros (principalmente relacionadas con actividades como modelar, explicar, comunicarse en un lenguaje preciso) y las habilidades desarrolladas en los cursos de matemáticas, donde el mayor énfasis se pone en actividades que resuelven problemas computacionales. La modelización matemática de problemas desarrolla en los estudiantes las habilidades necesarias y la habilidad para resolver posibles problemas prácticos.

El proceso de pensamiento al usar, adaptar o modificar esquemas previos para construir nuevas ideas, conceptos matemáticos, que incluye al menos la capacidad de pensar hipotéticamente y comparar ciertos comportamientos. La construcción del conocimiento requiere las funciones de internalización cognitiva y la representación mental que codifican información correspondiente a nuevas ideas y conceptos. Además de la línea recta, el círculo, el plano y la esfera, que todo alumno de Euclides conocía, los griegos conocían las propiedades de las curvas obtenidas cortando un cono con un plano: elipses, parábolas e hipérbolas donde Kepler, analizando sus observaciones astronómicas, que Newton demostró matemáticamente en relación con la ley de la gravitación, descubrió que los planetas describen elipses. Así, la geometría griega antigua se convirtió en la piedra angular de la astronomía moderna.

La educación profesional está interesada en los principios de la epistemología que sustentan la disciplina de la profesión de ingeniería, y es importante comprender la participación de las matemáticas en la práctica de la ingeniería. Para ello, se debe comprender los tipos de conceptos, herramientas, conocimientos y objetos matemáticos que los ingenieros necesitan conocer durante su formación y ejercicio de su profesión. Esto ha sido formulado por Romo y Oktaç (2007), quienes explican la relación entre conceptos matemáticos y conceptos de ingeniería usando sus herramientas analíticas, destacando dos dimensiones diferentes de un trabajo de otro, pero indicando cómo es posible interactuar en un trabajo específico, proyecto de ingeniería esta interacción hace evidente el papel de los conceptos matemáticos: donde cada concepto matemático está naturalmente relacionado matemáticamente con la teoría a la que pertenece.  Alrededor del 350 a.C. el matemático griego Menajem descubrió la sección de una cónica, pero fue más de un siglo y medio después, alrededor del 200 a. C., cuando Apolonio de Pérgamo (262-180 a. C.) amplió sus investigaciones.[pic 1][pic 2]

CÓNICAS y trazas

• ¿Qué son?

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:

[pic 3]

La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como:

[pic 4]

Donde: [pic 5][pic 6]

Una cónica queda pues definida por una matriz simétrica.

Un ejemplo de lo antes mencionado:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior

[pic 10]

En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son

[pic 11]

[pic 12]

Además de elipses, hipérbolas y parábolas, los gráficos que representan ecuaciones cuadráticas también pueden incluir líneas que se intersecan y pares de líneas paralelas que pueden ser distintas o coincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación se pruebe en un punto o no. Algunos de estos últimos también están disponibles como secciones cónicas, como se muestra en la imagen a continuación:

[pic 13][pic 14][pic 15]

Utilizando las curvas de nivel y las trazas es posible obtener la información suficiente para dibujar la gráfica de una función de la forma. z = f (x, y). Para ello es importante tener en cuenta que las curvas de nivel corresponden a cortes con planos horizontales y las trazas a cortes con planos verticales.[pic 16]

• Circunferencia

La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje y es un caso particular de elipse.[pic 17]

• Parábola

La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz. Es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

[pic 18]

• Elipse

La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz. Es una curva cerrada.

[pic 19]

• Hipérbola

La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica. Es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas. [pic 20]

[pic 21]

• ¿Para qué se utilizan?

Las secciones cónicas son aquéllas secciones que resultan al intersectar una superficie cónica de revolución con un plano. Según la posición del plano secante, en la superficie pueden obtenerse una circunferencia, parábola, elipse hipérbola.

Las cónicas se pueden clasificar en tres tipos, según el ángulo de intersección de un plano o de un cono. Una sección cónica es una curva que se obtiene cortando un plano con un cono. Hay muchas maneras de hacer esto; por ejemplo, si el plano va perpendicular al eje axial del cono, se obtiene la circunferencia. Los conos son parte de la naturaleza y del mundo circundante. La ingeniería, la arquitectura y la astronomía son campos importantes del conocimiento que utilizan curvas cónicas. Una sección cónica se define como un camino que cumple las siguientes condiciones y cada una tiene una ecuación analítica:

Parábola

Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco F y de una línea fija llamada directriz.

La forma estándar de una ecuación cuadrática:

[pic 22]

 donde α debe ser distinta de cero. Nota que α y b y c serán coeficientes y pueden ser positivos o negativos. Esto también afectará a la parábola graficada.

Elipse

Un punto del plano pertenece a una elipse si la suma de las distancias entre dicho punto y otros dos puntos fijos, llamados focos y ubicados sobre el eje mayor de la elipse, permanece constante. Para la ecuación de la elipse donde el centro están el punto de coordenadas (h,k):

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