SECCIONES CÓNICAS ROTADAS

2. SECCIONES CÓNICAS ROTADAS.

2.1. Ecuación general de una sección cónica con termino Bxy.

“Se llama ecuación general de segundo grado o ecuación cuadrática general en las variables x e y a una ecuación de la forma  . Donde A, B, C, D, E y F son constantes reales, y al menos uno de los coeficientes A, B o C es no nulo.  Llamamos discriminante de la ecuación al número Δ = B2 - 4AC.”^[1] ( Cuellar,2005, página 112). [pic 1]

 “El conjunto de todos los puntos (x, y) del plano que satisfacen la ecuación se llama una curva de segundo grado. Las secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola) son curvas de segundo grado ya que satisfacen ecuaciones de la forma . Sin embargo, hay curvas de segundo grado que no son secciones cónicas,“ ^[2]( Cuellar,2005, página 112).  Por ejemplo: “La curva x2 + y2 - 4x - 6y + 13 = 0 consiste de un solo punto: (2,3). Pues si completamos cuadrados obtenemos (x - 2)2+ (y - 3)2 = O, cuya única solución es (2,3).[pic 2]

1.  La curva x2 + 4y2 - 4xy + 2x - 4y + 1 = 0 es la recta x = 2y + 1, ya que si factorizamos el primer miembro obtenemos  (x-2y-1)2=0
2.  La curva 2x2 - 3y2 - xy = 0 consiste de las dos rectas 2x - 3y = O y x+y = O, ya que la ecuación se puede escribir (2x-3y)(x+y)=0
3. La curva x2+y2-2xy+5=0 no tiene puntos, ya que la ecuación puede escribirse (x - y)2 = -5, que obviamente no tiene soluciones pues el primer miembro siempre es no negativo”. ^[3]”( Cuellar,2005, pág. 112).

Se suele decir que estos casos constituyen los casos excepcionales o degenerados de las secciones cónicas. Se prueba que toda curva de segundo grado es una sección cónica o una sección cónica degenerada, aludiendo a los casos que acabamos de mencionar” ^[4] ( Cuellar,2005, pág. 112).

2.2 Determinación del Angulo de rotación de una sección cónica:

Para determinar el “ángulo de giro” se recurre a la expresión:

[pic 3]

 “Si los ejes a utilizar se denominan “ X’ ” y “ Y’ ” (equis prima y ye prima) el ángulo θ es entonces el que aparece en el siguiente diagrama:

Si en la expresión A = C se tiene B cos 2 = 0, la cual tendrá solución cuando 0[pic 4]

= 45   ya que cos 90° = 0“ ^[5]( Cuellar,2005, página 115).[pic 5]

EJEMPLOS

“En cada inciso, determinar el ángulo agudo de rotación “θ” de los ejes y las fórmulas de transformación que desaparecen el término en (x' ,y'). ^[6]( Cuellar,2005, página 115).

1) [pic 6]

“Solución: En la ecuación dada, observamos que A ≠ C, por lo tanto se debe calcular    Con ayuda del siguiente esquema observamos que para que el ángulo  sea agudo, se tiene:  y por trigonometría sabemos que”^[7]( Cuellar,2005, página 115): [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

=   [pic 14][pic 11][pic 12][pic 13]

 [pic 15][pic 16]

  =0 0[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

Es el ángulo de rotación de los ejes.

2) 35x2−12xy+30y2−30x+6 y − 24 = 0.

“Solución: En la ecuación dada, observamos que A ≠ C, por lo tanto se debe calcular    Con ayuda del siguiente esquema observamos que para que el ángulo  sea agudo, se tiene:  y por trigonometría sabemos que“ ^[8]( Cuellar,2005, página 115).[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

=  [pic 28][pic 25][pic 26][pic 27]

 [pic 29][pic 30]

  =56.310  56.310  [pic 31][pic 32][pic 33]

El ángulo de rotación es 56.31°.

3) x 2 + 2xy − y2 − 4x + 4 = 0 “ ^[9]( Cuellar,2005, página 115).[pic 34]

Solución

 Como A ≠ C, entonces     Con ayuda del siguiente esquema observamos que para que el ángulo  sea agudo, se tiene:  y por trigonometría sabemos que  que es el ángulo de rotación de los ejes.[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

2.2.a  Rotación De Ejes.

“Algunas veces también surge la necesidad de cambiar el sistema original rotándolo un ángulo “” para obtener un nuevo sistema, que pueda permitir escribir una curva en una forma más simple, en donde un punto arbitrario “P” tenga diferentes coordenadas en los diferentes sistemas coordenados“ ^[10]( Cuellar,2005, página 115).[pic 40]

 “En la Figura siguiente, los ejes x y y han sido girados un ángulo agudo  alrededor del origen para producir un nuevo par de ejes, que llamamos ejes X y Y. Un punto P que tiene coordenadas (x, y) en sistema antiguo tiene coordenadas (X, Y) en el nuevo sistema. Si hacemos que r denote la distancia de P del origen y que u sea el ángulo que el segmento OP forma con el nuevo eje X, entonces podemos ver de la Figura  posterior (al considerar los dos triángulos rectángulos de la figura) que” ^[11](Stewart J,  Redlin L, Watson S. 2012, página 757).[pic 41]

[pic 42]

Figura fue tomada del libro de Stewart J,  Redlin L, Watson S. (2012)  Precálculo Matemáticas Para El Cálculo, sexta edición, editora Cengage Learning Editores, S.A. página 758.  

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

Figura fue tomada del libro de Stewart J,  Redlin L, Watson S. (2012)  Precálculo Matemáticas Para El Cálculo, sexta edición, editora Cengage Learning Editores, S.A. página 758.  

Usando la Fórmula de la Adición para Coseno, vemos que

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

        “Análogamente, podemos aplicar la Fórmula de la Adición para Seno a la expresión para y para obtener y = X sen  +Y cos . Tratando estas ecuaciones para x y y como un sistema de ecuaciones lineales con las variables X y Y, obtenemos expresiones para X y Y en términos de x y y, como se detalla en el recuadro siguiente”^[12] (Stewart J,  Redlin L, Watson S. 2012 pagina 758).[pic 50][pic 51]

2.2.b. Fórmulas Para Rotación De Ejes:

“Suponga que los ejes x y y de un plano de coordenadas se giran el ángulo agudo  para producir los ejes X y Y, como se muestra en la Figura 1. Entonces las coordenadas (x, y) y (X, Y) de un punto en los planos xy y XY están relacionados como sigue” ^[13](Stewart J,  Redlin L, Watson S. 2012, página 758):[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

Nota.

“1. Si despejamos x' e y' en las ecuaciones (1) obtenemos  X' = xcosθ+ysenθ   y        y' = -xsenθ + y cos θ”52

2. “Las ecuaciones anteriores se llaman ecuaciones de rotación de los ejes, y la relación que ellas definen entre los pares de coordenadas (x,y), (x', y'), se denomina una (transformación de) rotación”52.

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