Historia de las secciones cónicas

1. Historia de las secciones cónicas.

Las secciones cónicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C. y el interés por estas curvas aumentaba a medida que se empleaban en la resolución de problemas. Pero un estudio sistemático y racional no comenzó hasta aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista, en la que sobresalieron por su contribución e importantes logros los matemáticos Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga.

Una de las primeras obras de las que se tiene conocimiento es Libro de los lugares sólidos, de Aristeo, que data de finales del siglo IV a.C. En esta obra las secciones cónicas se obtienen por secciones de cilindros y conos por planos.

Por algunos escritos de la época se sabe que Euclides, además de Los Elementos, obra de gran importancia y base de la Geometría clásica, escribió un tratado en cuatro tomos sobre las secciones cónicas de los que lamentablemente no se conservó ejemplar alguno.

Todas estas obras quedaron en un segundo plano, pasando algunas al olvido, después de la aparición de las Cónicas de Apolonio, magnífico compendio en ocho volúmenes que recogían todo el saber de la época sobre las secciones cónicas. Después de su aparición ningún otro matemático de la antigüedad realizó esfuerzo alguno por mejorarla.

De esta conocida obra tan sólo se han conservado los cuatro primeros de sus ocho libros en el griego original. El matemático árabe Thabit ibn Qurra tradujo los tres siguientes al árabe antes de que desapareciera su versión griega, conservándose esta traducción hasta nuestros días. En 1710, el matemático inglés Edmund Halley publicó la primera traducción al latín de los siete libros conservados, y desde entonces se han sucedido las publicaciones en varias lenguas. Del octavo libro no se tienen muchas referencias.

2. ¿Por qué se les da el nombre de cónicas?

Se llaman cónicas porque son las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice.

Por ejemplo:

Una circunferencia sale intersectando un plano paralelo a la base del cono con el mismo cono.

La elipse sale de intersectar el plano en sentido horizontal pero con cualquier ángulo con respecto a la base.

La parábola sale de intersectar el cono con un plano paralelo a la generatriz (vendría a ser paralelo a la cara del cono).

Y la hipérbola sale de intersectar el cono con un plano paralelo al eje de simetría (eje central).

3. ¿Qué es una parábola?

Una parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco.

4. ¿Qué es una directriz?

En geometría la directriz es aquella línea, superficie o volumen que determina las condiciones de generación de otra línea, superficie o volumen (que se llama generatriz).

Si la directriz es una línea recta, y la generatriz es otra línea recta que gira en torno a ella, conformará una superficie cónica, cilíndrica, etc. Si la generatriz es curva genera esferas, elipsoides, etc. Si la generatriz se desplaza sobre una o más directrices, genera una superficie reglada.

Curvas conformadas por circunferencias directrices:

 Epicicloide,

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