Serie Fibonacci

En matemática, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

Contenido  [ocultar] 

1 Historia

2 Definición recursiva

3 Representaciones alternativas

3.1 Función generadora

3.2 Fórmula explícita

3.3 Forma matricial

4 Propiedades de la sucesión

5 Generalización

5.1 Sucesión de Lucas

6 Algoritmos de cálculo

7 La sucesión de Fibonacci en la cultura popular

8 La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

9 Dígitos en la sucesión de Fibonacci

10 Véase también

11 Referencias

12 Bibliografía

13 Enlaces externos

[editar]Historia

La sucesión de Fibonacci en términos de conejos.

Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.), Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era , que produce explícitamente los números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.1

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".2

Número de Mes Explicación de la genealogía Parejas de conejos totales

Fin del mes 0 0 conejos vivos. 0 parejas en total.

Comienzo del mes 1 Nace una pareja de conejos (pareja A). 1 pareja en total.

Fin del mes 1 La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A. 1+0=1 pareja en total.

Fin del mes 2 La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A. 1+1=2 parejas en total.

Fin del mes 3 La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B. 2+1=3 parejas en total.

Fin del mes 4 Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C. 3+2=5 parejas en total.

Fin del mes 5 A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E. 5+3=8 parejas en total.

Fin del mes 6 A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H. 8+5=13 parejas en total.

... ... ...

Fin del mes 12 ... ...

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.3

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos se acerca a la relación áurea fi () cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

[editar]Definición recursiva

Chimenea con la secuencia de Fibonacci

...