Serie De Fibonacci

SUCESIÓN DE FIBONACCI BY ETÉREA

This section is meant to be a complement to the animation, in order to better understand the theoretical basis that you can find behind the sequences. It was also, more or less, the appearance of the screenplay in the days that I was planning this project. Esta sección pretende ser un complemento a la animación, para poder entender mejor la base teórica que se encierra detrás de ella. Era también, más o menos, el aspecto que tenía el guión previo que elaboré cuando planificaba el proyecto.

________________________________________

The animation begins by presenting a series of numbers. This is a very famous and recognized sequence since many centuries ago in the Western World thanks to Leonardo of Pisa, a thirteenth century Italian mathematician, also called Fibonacci. So it is known asFibonacci Sequence, even although it had been described much earlier by Indian mathematicians. La animación arranca presentando una sucesión de números. Una serie muy famosa y reconocida desde hace muchos siglos en el mundo occidental gracias a Leonardo de Pisa, una matemático italiano del siglo XIII, también llamado Fibonacci. Por eso se la conoce como Sucesión de Fibonacci, aunque ya había sido descrita con mucha anterioridad por los matemáticos hindúes.

This is an infinite sequence of natural numbers where the first value is 0, the next is 1 and, from there, each amount is obtained by adding the previous two. Se trata de una sucesión infinita de números naturales donde el primer valor es 0, el siguiente es1 y, a partir de ahí, cada cantidad se obtienesumando las dos anteriores.

The values of this sequence have been appearing in numerous applications, but one of the most recognized is the Fibonacci Spiral, which has always been used as an approximation to theGolden Spiral (a type of logarithmic spiral) because it is easier to represent with help of a simple drawing compass.

This is the next thing to be shown on the animation, appearing just after the first values on the succession: the process of building one of these spirals. Los valores de esta sucesión aparecen en numerosas aplicaciones, pero una de la más reconocida es la Espiral de Fibonacci, que siempre se ha utilizado como una aproximación a la Espiral Áurea(un tipo de espiral logarítmica) porque es más fácil de representar simplemente con la ayuda de un compás.

Eso es lo siguiente que se muestra en la animación, justo después de aparecer los primeros números de la sucesión: el proceso de construcción de una de estas espirales.

We will create first a few squares that correspond to each value on the sequence: 1x1 - 1x1 - 2x2 - 3x3 - 5x5 - 8x8, etc. And they are arranged in the way how we see in the diagram at left.

Then we draw a quarter circle arc (90°) within each little square and we can easily see how it builds step by step the Fibonacci Spiral, looking at right graphic.

I have introduced a small optical correction in the animation in order to get the resulting curve more like a true Golden Spiral(more harmonious and balanced), as explained on this plate. It's something similar to what happens when we try to approach to an ellipse by drawing an oval using circular segments: the result is not the same as a true ellipse. And it shows.

IMPORTANT NOTE: while watching the animation conveys the idea that the Fibonacci spiral (or the Golden Spiral, it doesn't matter) is on the origin of the shape of a Nautilus, this isn't absolutely right.

It's funny because if you perform this search at Google Images: “spiral + nautilus” you will see how many images suggest that this shell is really based on the construction system described above.

But this isn't correct, as it's outlined on this other page.

Primero se van creando cuadraditos que corresponden a cada valor de la sucesión: 1x1 - 1x1 - 2x2 - 3x3 - 5x5 - 8x8, etc y se disponen de la manera que vemos en el gráfico de la izquierda.

A continuación podemos trazar un cuarto de arco de circunferencia (90º) dentro de cada cuadradito y fácilmente vemos cómo surge laEspiral de Fibonacci, a la derecha.

En la animación se ha introducido una pequeña corrección óptica para hacer que la curva resultante sea más parecida a una verdadera Espiral Áurea (más armoniosa y equilibrada), tal como se explica en ésta lámina. Es algo parecido a lo que ocurre cuando tratamos de aproximarnos a una elipse trazando un óvalo con segmentos de circunferencia: el resultado no es lo mismo que una verdadera elipse. Y se nota.

NOTA IMPORTANTE: aunque viendo la animación se transmite

...