Solución de ecs. Diferenciales de primer orden y aplicaciones.

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Calculo Diferencial.

Presenta: Emerson Eduardo Pérez Barajas

Actividad 3: Solución de ecs. Diferenciales de primer orden y aplicaciones.

Matricula: U143056q00004

Asesor: Mtro. J. Carme Calderón Camacho.

1. de octubre del 2015.

1. Modelo matemático. Sea un cultivo con una cantidad inicial de 100 bacterias y N el número de bacterias que se cuentan cada hora durante 5 horas. Los resultados se muestran en la sig. Tabla, donde t es el tiempo en horas.

1. Investigar la función exponencial del comportamiento de estos resultados.

=kn         - kn =0[pic 6][pic 4][pic 5]

=kdt      = = Ln. (n) = kt + c   [pic 7][pic 8][pic 9]

N=ekt+c         n=ekt . ec       N(t)=c.ekt [pic 10][pic 11]

Si t=o horas y la población de bacterias en ese tiempo es de 100 la ecuación exponencial quedaría

N(t)=c.ekt    N(0)=c.ek(0)

Se puede despejar y obtener el valor de la constante c.

N(0)=c.ek(0)  C=100

N(0)=100.ek(0)  

Ahora obtenemos el valor de k. primero hay que despejar k.

N=100.ek(5) =297       N=ek(5)=    5k=ln()   [pic 14][pic 12][pic 13]

k= ln = 0.21771239[pic 15]

b) Usar el modelo para estimar el tiempo requerido para que la población se cuadriplique.

No=100

N(4)=400

Para encontrar el tiempo que tarda el producirse cuatro veces la población inicial. Hay que despejar t.

N(4)=100.ek(t)  

=ekt         ln(=kt     ln(=kt     ()=t    ()= 6.38 horas.[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

2. Curva de aprendizaje. El gerente de una fábrica ha calculado que un trabajador puede producir más de 30 unidades en un día. La curva de aprendizaje del número N de unidades producidas por día después de que un nuevo empleado haya trabajado t días es N=30 (1-e-kt) Después de 20 días en el trabajo, un trabajador produce 19 unidades.

a) Encontrar la curva de aprendizaje de este trabajador.

N(t)  = 30 (1 – ekt)

N(20) = 19 = 30 (1 – e20k)

(1 – e20k) =             e20k = 1 -   =            20k = ln ()
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