Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de primer orden
Enviado por JORGEROD492 • 30 de Junio de 2022 • Prácticas o problemas • 3.462 Palabras (14 Páginas) • 240 Visitas
[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]TALLER | |
ESTUDIANTE: Jorge Eduardo Rodriguez | Area: Ciencia Básicas Virtual |
Asignatura: Ecuaciones Diferenciales | |
Actividad 1: Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de primer orden | |
EJERCICIOS | |
Aplicación de Ecuaciones Diferenciales: para cada uno de los siguientes problemas debe: Plantear y solucionar el problema de valor inicial por cualquiera de los métodos vistos en el módulo 1. (Aspecto a evaluar: #1 Solución de Ecuaciones.) Graficar la solución de la ecuación en el intervalo dado y, dar respuesta a las dos preguntas planteadas en cada ejercicio. (Aspecto a evaluar: #2 Análisis de la Solución.) 1. Una población crece de forma proporcional al número de personas en el tiempo t. Si la población inicial eran 200.000 personas y en dos años aumentó un 3 %. Construya un modelo de ecuaciones diferenciales que permita determinar la población en función del número de años t que han transcurrido desde el año inicial y, graficar la función solución del problema de valor inicial durante los primeros 10 años. Si al aumentar la población en un 15 %, se debe realizar un proceso de mejora de los servicios públicos. ¿Cada cuantos años se deberá realizar dicho mantenimiento? Justique su respuesta. El objetivo de la población es alcanzar los 500;000 habitantes. ¿Cuantos deberán pasar para que este evento ocurra? Solución: Utilizamos el modelo:
[pic 5] Donde t = tiempo en años P = población en el tiempo t k = constante de proporcionalidad [pic 6] = razón de crecimiento Po = población inicial De tal manera: [pic 7]
[pic 8] Sabemos que [pic 9] Entonces [pic 10] Ahora [pic 11] [pic 12] La población inicial 200000 crece 3% en 2 años [pic 13] [pic 14] [pic 15]
Resueltas las bases entonces: Para t = 10 años [pic 16] La población en 10 años es aprox 231855 Habitantes Si aumentara la población en un 15% para realizar realizar un proceso de mejora de los servicios públicos el tiempo trascurrido para este evento seria: [pic 17] Aprox cada 9,45 años El tiempo para alcanzar 500000 habitantes seria: [pic 18] Aprox 62 años
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2. Un grupo de investigadores encontraron un fémur que se presume corresponde a un antepasado del homo-sapiens. Para lograrlo calificar se realizó una prueba de carbono 14 y se encontró solamente un [pic 19] del carbono 14 esperado. Construya un modelo de ecuaciones diferenciales que permita determinar el porcentaje X de carbono 14 que tenga el fémur pasados t años y, graficar la función solución del problema de valor inicial en los últimos 200;000 años, tomando valores cada 20;000 años. ¿Qué porcentaje se encontraba presente en el hueso hace 1;000;000 de años? Si cuando estaba vivo, se tenía el 100% del carbono 14 determine, usando los Siguientes intervalos indique a que familia pertenecía: Homo neardenthaliensis (26.000 - 228.000 a.c.). Homo erectus (228.000 - 1.800.000 a.c.). Homo ergaster (1.800.000 a.c. - 2.200.000 a.c.). Australopithecus (2.200.000 a.c. - 3.600.000 a.c.)
Solución: Utilizamos el modelo: [pic 20]
Done M = Masa del elemento t = tiempo k = constante entonces como resolvimos el ejercicio anterior encontramos [pic 21]
Entonces [pic 22] Ahora por definición T (en años) es el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los átomos de una muestra [pic 23]
Luego [pic 24] Y nos queda el modelo [pic 25] Para el caso T = 5730 años
[pic 26]
[pic 27]
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3. Una barra de metal que se encontraba a una temperatura de 212 °C se deja caer en un recipiente de agua que se encuentra a una temperatura de 12 °C. Y, luego de 1 minuto y 15 segundos la barra solo se ha enfriado 25 °C. Construya un modelo de ecuaciones diferenciales que permita determinar la temperatura T que tiene la barra de metal cuando han pasado t minutos desde que se sumergió en el recipiente y, graficar la función solución del problema de valor inicial durante los primeros 10 minutos. Para retirar la barra metálica, se debe esperar a que este alcance una temperatura inferior a 100 °C. ¿Qué tiempo se debe esperar? ¿Cuánto cambia la temperatura de la barra entre el minuto 10 y el minuto 11?
Solución: Utilizamos el modelo: [pic 28] [pic 29] [pic 30] [pic 31] [pic 32] [pic 33]
[pic 34]
[pic 35] [pic 36] [pic 37]
[pic 38] Para los 10 minutos entonces [pic 39] Para 11 minutos [pic 40] Diferencia [pic 41]
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4. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 ohmios y la capacitancia es de 10-4 faradios. Construya un modelo de ecuaciones diferenciales que permita determinar la carga Q almacenada en el capacitor pasados t segundos y, graficar la función solución del problema de valor inicial durante los primeros 2 minutos. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar una carga inferior a 1 columbio? Si la corriente corresponde a la derivada de la carga, ¿cuál es la carga máxima que recorre el circuito? Solución: Utilizamos el modelo:
[pic 42]
Donde R = 200 Ohmios C = [pic 43] Faradios E = 100 voltios De tal manera [pic 44] [pic 45]
De tal manera: [pic 46] Para encontrar el valor de C utilizamos los valores iniciales q(0) = 0, es decir cuando el tiempo t es 0 la carga q en el capacitor es 0 también
[pic 47] Quedaría [pic 48] [pic 49] [pic 50]
Para obtener la corriente utilizamos el mismo modelo [pic 51] Y reemplazamos
[pic 52] Esta es la corriente en el circuito. [pic 53] Cuando se carga completamente el condensador la corriente tiende a 0 los Columbios son iguales a la Corriente en Amperios por el tiempo en segundos y tendería a 0. | |
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