Ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Conceptos b´asicos

Una  igualdad  que  contenga  una  o  m´as  derivadas  de  una  funci´on  desconocida  se llama ecuaci´on diferencial.  Se dice que una ecuaci´on diferencial es ordinaria si la funci´on inc´ognita depende de una sola variable.  Si la funci´on inc´ognita depende de m´as de una variable, la ecuaci´on se llama ecuaci´on diferencial parcial.

El orden de una ecuaci´on diferencial es el de la derivada de mayor orden que aparece  en  la  ecuaci´on.   Una  ecuaci´on  diferencial  ordinaria  de  orden  n,  puede expresarse de la forma

F (x, y, yj, ..., y(n)) = 0,

donde  F  es  una  funci´on  que  depende  de  n + 2  variables.   Para  fines  pr´acticos supondremos que la igualdad anterior tambi´en admite la representaci´on

y(n) = f (x, y, yj, ..., y(n−1)),

para alguna funci´on f  de n + 1 variables.

Decimos  que  una  ecuaci´on  diferencial  de  la  forma  y(n) =  f (x, y, yj, ..., y(n−1)) es  lineal,  si  f  es  una  funci´on  lineal  de  y, yj, ..., y(n−1).   Es  decir,  una  ecuaci´on diferencial es lineal si puede escribirse en la forma

an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + ... + a1(x)yj + a0(x)y = g(x).

Cuando una ecuaci´on diferencial no es lineal, se dice que es no lineal.

Una soluci´on a una ecuaci´on diferencial en un intervalo I es cualquier funci´on definida en I que satisface dicha ecuaci´on.

Un problema de valores iniciales es aquel en el que se busca determinar una soluci´on a una ecuaci´on diferencial, sujeta a condiciones sobre la funci´on descono- cida y sus derivadas, dadas para un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales. Al encontrar un problema de este tipo,  es  natural  preguntarse  si  tiene  soluci´on  y  en  tal  caso,  si  dicha  soluci´on  es u´nica.  La respuesta a estas cuestiones viene dada por el siguiente teorema.

Teorema  0.0.1.  (Teorema de existencia y unicidad).  Sea R un rect´angulo en el plano en el plano que contiene al punto (x0, y0) en su interior. Si las funciones f

∂f son continuas en R, entonces existe un intervalo I con centro en x0 y una[pic 1][pic 2]

funci´on y(x) u´nica, definida en I  que satisface:

1.  yj = f (x, y)

2. y(x0) = y0

Si todas las soluciones de la ecuaci´on diferencial F (x, y, yj, ..., y(n)) = 0 en un intervalo I pueden obtenerse de G(x, y, c1, ..., cn) mediante valores apropiados de ci, entonces a G se le llama la soluci´on general; una soluci´on que no contenga los par´ametros ci se le llama soluci´on particular; una soluci´on que no pueda obtenerse a partir de la soluci´on general se le llama soluci´on singular.

Ecuaciones diferenciales de variables separables

Se  dice  que  una  ecuaci´on  diferencial  ordinaria  es  de  variables  separables,  si  se puede escribir de la forma

dy        f (x)

=        .[pic 3][pic 4]

dx        g(y)

La ecuaci´on anterior se expresa en forma diferencial como

g(y)dy = f (x)dx.

Decimos que una funci´on f (x, y) es homog´enea de grado n, con respecto a las variables x, y, si para cada t, se tiene que

f (tx, ty) = tnf (x, y).

La ecuaci´on diferencial

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0,

se llama homog´enea, si las funciones M (x, y) y N (x, y) son homog´eneas del mismo grado.

Una ecuaci´on diferencial homog´enea, se resuelve reduci´endola a una ecuaci´on diferencial de variables separables, utilizando cualesquiera de las sustituciones

v = y o v = x. Aunque en teor´ıa, alguna de las dos sustituciones anteriores reduce

x        y

una ecuaci´on diferencial homog´enea a una de variables separables, en la pr´actica

se sugiere utilizar

1. y = xv si N  es de estructura “m´as simple” que M , y

1. x = yv si M  es de estructura “m´as simple” que N .

El tomar en cuenta esta observaci´on, nos lleva a integrales menos complicadas de calcular al resolver la ecuaci´on de variables separables que se obtiene.

Las ecuaciones diferenciales de la forma

dy = f        a1x + b1y + c1        , dx        a2x + b2y + c2[pic 5]

donde ai, bi, ci son nu´meros reales, para i = 1, 2, se denominan cuasi-homog´eneas y se reducen a homog´eneas, mediante los cambios de variable

x = X + h        y        y = Y  + k,

donde h y k son las soluciones del sistema

a1h + b1k + c1        =   0

a2h + b2k + c2        =   0.

Si el sistema no tiene soluci´on, es decir

a2 = b2 a1        b1

= λ,

la ecuaci´on diferencial puede escribirse como

dy        =   f         a1x + b1y + c1 [pic 6]

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