Ecuaciones Diferencial De Primer Orden

Ecuaciones diferenciales de primer orden:

Sea la siguiente ecuación:

; (a)

Una ecuación diferencial de primer orden, la solución general de esta ecuación puede expresarse en la forma:

(b)

Donde es cualquier solución particular y es la solución de la ecuación homogénea.

, separamos variables y obtenemos:

;

(1)

La expresión (1); es la solución de la ecuación homogénea, para obtener una solución particular de (a), se multiplica ambos miembros de la ecuación por:

Por lo tanto podemos escribir: (2)

Integramos ambos miembros de la expresión (2)

(3);

Sustituimos (1) y (3) en la expresión (b) y obtenemos:

; Donde c es una constante arbitraria

Otro método para resolver la ecuación (a), es utilizar la variación de la constante de la expresión (1), cuando c es constante, la función es la solución de la ecuación homogénea. Probemos ahora satisfacer la ecuación no homogénea considerando c como función de x, el cual escribimos de está forma:

(3) donde y es una función de desconocida de

Calculamos la derivada de la función ;

, sustituyendo en la ecuación (a) tenemos:

, donde obtenemos:

, integrando esta expresión, se halla

, al sustituir en la expresión (3) tenemos:

.

Un caso particular, utilizando las técnicas expuestas anteriormente es resolver la ecuación no lineal:

(4), donde n es un número arbitrario, está ecuación se conoce como ecuación de Bernoulli, dividimos ambos miembros de la ecuación (4) por (5)

Hacemos el siguiente cambio de variable , derivamos la expresión anterior y obtenemos:

, al sustituir en la expresión (5), tenemos

, esta expresión es una ecuación de primer orden.

Problemas.

Desde una cierta altura se ha arrojado un cuerpo con una velocidad inicial, determinar como cambia la velocidad de caída , si sobre el cuerpo, además de la fuerza de gravedad, actúa la fuerza de resistencia del aire, proporcional a la velocidad , si el coeficiente de proporcionalidad es .

Solución:

En virtud de la segunda ley de Newton tenemos que:

Está ecuación vectorial la convertimos en una ecuación escalar a lo largo del eje y:

Ya que: ( no actúan fuerzas a lo largo del eje x ),

Por lo tanto concluimos que:

1). El lado izquierdo de está expresión equivale a las fuerzas que obran sobre el cuerpo en cuestión, , de la expresión 1) obtenemos:

(2), donde , la relación (2) es una ecuación diferencial lineal de primer orden, reescribimos (2) y obtenemos:

(3), hallamos la solución de ecuación homogénea

Separamos variables: .

Integramos ambos miembros;

(4), está expresión es la solución de la ecuación homogénea. Utilizamos el método descrito anteriormente para hallar una solución particular haciendo variar la constante c, escribimos (5)

Calculamos la derivada de la expresión anterior;

Sustituimos en la expresión:

Integrando ambos miembros tenemos:

Sustituimos en (5),

Al final obtenemos:

, está representa la solución de la ecuación (2)

Consideremos las condiciones iniciales:

Notemos que si la resistencia del aire es despreciable o no existe, podemos calcular el límite, cuando , se puede demostrar que :

Esta es la famosa ecuación de cinemática: , utilizada en un curso de física.

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