Sucesiones

1.1. INTRODUCCION Y GENERALIDADES

Si cada entero positivo n está asociado un número real an, se dice que el

conjunto ordenado {aj, a2, a3,..., a„,...... } define una sucesión real infinita.

Los términos de la sucesión son los números a(. a2. . y así hablaremos del

primer término aj, del segundo término a2, y en general del n-ésimo término an.

Cada término a„ tiene un siguiente a^+i y por lo tanto no hay un último término.

Los ejemplos más comunes de sucesiones se pueden construir dando alguna

regla o fórmula explícita, que proporcione el término n-ésimo, tal como a„ =—,

n

bn=2"; c„=logn,... etc. Para hallar los términos de an=—, se sustituyen

n

los valores de n = 1,2,3... para obtener { at , a2, a3,... } = { 1, 1/2, 1/3,... }. Los

puntos suspensivos se usan para sugerir que los términos de la sucesión

continúan indefinidamente. Algunas veces se necesitan dos o más fórmulas

para especificar los términos de una sucesión, por ejemplo a2n-i~l y a2n

= 2n2.

Aquí los términos de la sucesión pertenecen al conjunto { ai, a2, a3, a4,... } =

{ 1,2,1,8,.. } ya que ai = a2(1H = 1 , a2= a2a) = 2 , a3 = a2(2).,= 1, =

a2<2) = 8 y así sucesivamente. Otra forma corriente de definir una sucesión,

consiste en mostrar un conjunto de instrucciones u operaciones que indican

como se obtiene un término a partir de los anteriores, así por ejemplo: at =

a2 = 1 y a n+i = an + an.i si n > 2 ( Sucesión de Fibonacci). Los términos

de esta sucesión pertenecen al conjunto de valores {ai, a2, a3, a4, ...} ={1,1,

2, 3, 5, 8, 13,...} ya que a3 = a2 + ai = 1 + 1 = 2; a4 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3;

a5 = a4 + a3 = 3 +• 2 = 5 y en forma análoga se encuentran los demás términos.

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Una Sucesión se puede especificar de varias formas; por ejemplo la

sucesión {1,4,7, 10,...} es susceptible de representarse por {3n - 2 } y , en

forma abreviada, también por a„ = a^j + 3; ay = 1 y n > 2. Observe que son

tres formas de expresar la misma sucesión.

En toda sucesión lo esencial es que exista una función " f " definida para todos

los enteros positivos a partir de uno fijo, de modo que f(n), es el n-ésimo

término de la sucesión para cada entero positivo n en el dominio de " f ".

Efectivamente este es el camino más conveniente para establecer una

definición formal de una sucesión.

Definición de la expresión "casi todo entero positivo ".

Casi todo entero positivo n, significa, todos los enteros positivos, salvo un

número finito. Dicho de otra forma, existe un número natural n0 tal que n > n0

para todo n.

1.2. DEFINICION DE SUCESIÓN

Una sucesión es una función " f " cuyo dominio son casi todos los enteros

positivos. Si el recorrido es un subconjunto de los números reales, f se dice una

sucesión real y si el recorrido es un subconjunto de los números complejos, f

se dice una sucesión compleja. El n-ésimo término de la sucesión " f ", se

denotará por f(n) o en forma suscinta por a„ y la sucesión misma por { a„ } ó

{ f ( n ) } ó (a„ ). En la práctica basta con especificar el término general a„ , si

no hay riesgo de confusión.

Generalmente se utilizan letras minúsculas subindizadas entre corchetes o

paréntesis. Preferiremos en adelante esta última aceptación cuando se trata de

precisar las definiciones

...