Suma de Riemann.

Suma de Riemann

Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje x, ya que la suma de todas las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866). Así, la definición que dice que la integral definida de una función integrable se puede aproximar a cualquier grado deseado de precisión por una suma de Riemann. Sabemos que si f es positiva, entonces la suma de Riemann se puede interpretar como una suma de áreas de rectángulos de aproximación (vea la Figura 1).

Si f toma valores positivos y negativos, entonces la suma de Riemann es la suma de las áreas de los rectángulos que están arriba del eje x, y los negativos de las áreas de los rectángulos abajo del eje x (las áreas de los rectángulos azules menos las áreas de los rectángulos color oro). Una integral definida se puede interpretar como un área neta, es decir, una diferencia de áreas:

Donde A1 es el área de la región arriba del eje x y debajo de la gráfica de f, y A2 es el área de la región abajo del eje x y arriba de la gráfica de f.

Nota 1: Aun cuando hemos definido al dividir [a, b] en subintervalos de igual ancho, hay situaciones en las que es ventajoso trabajar con subintervalos de ancho desigual. Hay métodos para integración numérica que aprovechan los subintervalos desiguales. Si los anchos de subintervalos son ∆x1, ∆x2,. . ., ∆xn , tenemos que asegurar que todos estos anchos se aproximan a 0 en el proceso limitador. Esto ocurre si el ancho más grande, max ∆xi, se aproxima a 0. Entonces en este caso la definición de una integral definida se convierte en

Nota 2: Hemos definido la integral definida para una función integrable, pero no todas las funciones son integrables. El siguiente teorema muestra que las funciones que se presentan con más frecuencia son en verdad integrables. Esto se demuestra en cursos más avanzados.

Teorema 1: Si f es continua en [a, b], o si f tiene sólo un número finito de discontinuidades de salto, entonces f es integrable en [a, b]; esto es, la integral definida ∫_a^b▒〖f(x) dx〗 existe.

Si f es integrable en [a, b], entonces el límite de la integral definida existe y da el mismo valor sin importar cómo se escojan los puntos muéstrales. Para simplificar el cálculo dela integral con frecuencia tomamos los puntos muéstrales como puntos extremos derechos. Entonces Xi*=Xi y la definición de una integral se simplifica como sigue:

Teorema 2: Si f es integrable en [a, b], entonces

Donde

Ejemplo 1: Escribir un límite de sumas de Riemann como una integral. Exprese:

Como una integral en el intervalo [0, p].

SOLUCIÓN: Comparando el límite dado con el límite del Teorema 2, vemos que serán idénticos si escogemos f(x) x 3 x sen x. Nos indican que a 0 y b p. Por tanto, por el Teorema 4, tenemos

Más adelante, cuando apliquemos la integral definida a situaciones físicas, será importante reconocer límites de sumas como integrales, como hicimos en el Ejemplo 1. Cuando

...