Conicas

Introducción:

Las cónicas están presentes en la vida cotidiana, en la naturaleza, en el arte. Por ello, su estudio nos ofrece una buena oportunidad para resaltar el carácter instrumental de las matemáticas: "La Matemática es el modo de comprender el mundo Pitágoras. |

| Por otro lado, en el estudio de las cónicas (que conjuga de forma armónica las diferentes ramas de la geometría: sintética, métrica, analítica, proyectiva, diferencial,...) resalta el carácter global de las matemáticas: "El carácter unitario de las Matemáticas reside en la esencia intrínseca de esta Ciencia; pues la Matemática es el fundamento de todo conocimiento científico riguroso Hilber. |

La elipse, la hipérbola y la parábola reciben el nombre de cónicas debido a que pueden obtenerse al cortar una superficie cónica de revolución con un plano que no pase por el vértice. El tipo de cónica obtenido dependerá de la inclinación del plano respecto al eje de dicha superficie

En el caso particular en que = 90º, la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.

Las cónicas pueden definirse como lugares geométricos a partir de un punto fijo F, llamado foco, una recta fija, d, llamada directriz,

y su excentricidad, e > 0, del siguiente modo:

Cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, tales que el cociente de sus distancias a F y a d es una cantidad constante, llamada excentricidad de la cónica

La circunferencia no puede ser definida como un lugar geométrico de los anteriores, pues su excentricidad es cero.

Fue el matemático griego Apolonio de Perga (262-190 A.C.) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas. Apolonio descubrió que las cónicas se pueden clasificar en tres tipos: elipses, hipérbolas y parábolas

Definición:

La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 350 (Menæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto». Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.

Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.

El griego Menaechmos fue el primero en estudiar las secciones cónicas. Llegó a ellas tratando de resolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo.

Arquímides logró calcular el área de un elipse y de un sector de la parábola con un método precursor del cálculo integral, que se desarrolló hasta el s. XVII d. C.

Apolonio de Praga representa la culminación

de la geometría griega. Escribió ocho libros sobre secciones cónicas, de los cuales uno se perdió. Fue el primero en demostrar que son secciones de un cono circular, recto u oblicuo, y las estudió como curvas planas. Los nombres de elipse, parábola e hipérbola se deben a él.

Tipos de cónicas:

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

•β < α : Hipérbola

•β = α : Parábola

•β > α : Elipse

•β = 90º: Circunferencia

Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

La parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.1

Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.

En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:

La elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto

del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es:

A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.

Ecuación:

En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

En la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:

h² > ab: hipérbola.

h² = ab: parábola.

h² < ab: elipse.

a = b y h = 0: circunferencia.

Características de las cónicas:

•La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:

•Centro, O

•Eje mayor, AA´

•menor, BB´

•Distancia focal, OF

La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica:

•La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.

Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:

•Centro, O

•Vértices, A y A

•Distancia entre los vértices

•Distancia entre los focos

La ecuación de una hipérbola con centro (0, 0), es:

•La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.

Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:

•Eje, e

•Vértice, V

•Distancia de F a d, p.

Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación:

Aplicaciones de las cónicas:

Desde la época en que Apolonio demostraba

las propiedades que poseen las curvas cónicas, descubrió que se destacaba la creación de espejos con forma de sección cónica aplicando las propiedades de reflexión, obteniendo así los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos.

Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.

También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas

CÓNICA

Se denomina cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.

Además de las rectas, círculos, planos y esferas que conoce cualquier estudiante de Euclides, los griegos sabían las propiedades de las curvas que se obtienen al cortar un Cono con un plano: la elipse, la parábola y la hipérbola. Kepler descubrió al analizar Sus observaciones astronómicas -y Newton lo demostró matemáticamente sobre la Base de la ley universal de la gravitación- que los planetas describen elipses. As se hizo de la geometría de la Grecia antigua piedra angular de la astronomía moderna.

ORIGEN DE LAS CONICAS.

Como ha sucedido en numerosas ocasiones,

importantes creaciones en matemáticas no tuvieron un origen que pronosticara su relevancia posterior. Uno de estos casos es el de las conocidísimas cónicas, en un principio estudiadas casi por simple diversión, pero de tan variadas aplicaciones

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