TC 3 Ecuaciones Diferenciales

DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

Hallar el radio de convergencia de las siguientes series:

an+1 = (x-3)ᶯ+1 . n ³

an (n+1)³ (x-3) ᶯ

(x-3) ᶯ(x-3)¹ . n ³ = (x-3)n ³ = /x-3/

(n+1) ³ (x-3) ᶯ (n+1) ³

Entonces:

-1<x-3<1

2<x<4

[2,4]

an+1 = (-1)ᶯ+1. X ᶯ+1 . n = -Xn = /X/

an n+1 (-1) ᶯ . x ᶯ (n+1)

Entonces:

-1<x<1

R=1

Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala en forma de serie

Serie:

y = Σº cnX ᶯ = C1X+C2X²+C3X³+...

n=1

Primera derivada:

y'= Σº ncnX ᶯ-1 = C1+2C2X+3C3X²+...

n=1

Sustituyendo:

(C1+2C2X+3C3X²+...)+(C1X+C2X²+C3X³+...)=0

Se agrupan potencias de X:

( C1 + C1X) + ( 2C2+ C2X)X + ( 3C3+ C3X)X² + ...=0

Iguala a 0 los coeficientes:

( C1 + C1X)=0 ( 2C2+ C2X) =0 ( 3C3+ C3X) =0

C1 =-C1X C2 =-C1X C3 =-C1X

2! 3!

Ecuación y=C1X+C2X²+C3X³+... :

y= (-C1X)X+-C1X(X²)+-C1X(X³)+...

2! 3!

Despejamos C1:

y=C1(-X²-X³ - Xᶣ +...)

2! 3!

Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala en forma de serie:

(x+1) y^'-(x+2)y=0

sea y=∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗,entonces y'=∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗

Sustituyamos en la ecuación, esto es:

(x+1) ∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗–(x+2) ∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=0

x∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗+∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗–x∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗-2∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=0

∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^n 〗+∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗–∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^(n+1) 〗-2∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=0

∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^n 〗+∑_(n=0)^∞▒〖(n+1) c_(n+1) x^n 〗–∑_(n=1)^∞▒〖c_(n-1) x^n 〗-2∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=0

∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^n 〗+c_1+∑_(n=1)^∞▒〖(n+1) c_(n+1) x^n 〗–∑_(n=1)^∞▒〖c_(n-1) x^n 〗-2c_0-2∑_(n=1)^∞▒〖c_n x^n 〗=0

∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^n 〗+∑_(n=1)^∞▒〖(n+1) c_(n+1) x^n 〗–∑_(n=1)^∞▒〖c_(n-1) x^n 〗-2∑_(n=1)^∞▒〖c_n x^n 〗+c_1-2c_0=0

∑_(n=1)^∞▒〖[n c_n x^n+(n+1) c_(n+1) x^n-c_(n-1) x^n-2c_n x^n ] 〗+c_1-2c_0=0

∑_(n=1)^∞▒〖[n c_n+(n+1) c_(n+1)-c_(n-1)-2c_n ] x^n 〗+c_1-2c_0=0

Por igualdad se tiene que:

n c_n+(n+1) c_(n+1)-c_(n-1)-2c_n=0 ∧ c_1-2c_0=0

(n-2) c_n+(n+1) c_(n+1)-c_(n-1)=0 ∧ c_1=2c_0

(n+1) c_(n+1)=c_(n-1)-(n-2) c_n ∧ c_1=2c_0

c_(n+1)=(c_(n-1)-(n-2) c_n)/((n+1) ) ∧ c_1=2c_0

Así que dándole valores a n se tiene:

para n=1 → c_2=(c_0-(-1) c_1)/((1+1) )=(c_0+c_1)/2=(c_0+2c_0)/2=3/2 c_0

para n=2 → c_3=(c_1-(0) c_2)/((2+1) )=c_1/3=(2c_0)/3=2/3 c_0

para n=3 → c_4=(c_2-(1)c_3)/(3+1)=(c_2-c_3)/4=(〖3c〗_0/2-〖2c〗_0/3)/4=(〖5c〗_0/6)/4=5/24 c_0

para n=4 → c_5=(c_3-(2)c_4)/(4+1)=(c_3-〖2c〗_4)/5=(2/3 c_0-10/24 c_0)/5=(1/4 c_0)/5=1/20

...