Ecuaciones Diferenciales - Unidad 3
Enviado por Deusericus • 17 de Mayo de 2015 • 2.536 Palabras (11 Páginas) • 1.371 Visitas
INTRODUCION
3.1 TEORIA PRELIMINAR
3.1.1 DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLECE
3.1.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA PARA TRANSFORMADAS DE LA PLECE
3.2 TRANSFORMADA DIRECTA
3.3 TRANSFORMADA INVERSA
3.4 PROPIEDADES
3.4.1 TRANSFORMADA DE LA PLECE DE FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS
3.4.2 FUNCION ESCALON UNITARIO
3.4.3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLECE
3.4.4 TRANSFORMADA DE FUNCIONES MULTIPLICADAS POR t
3.4.5 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
3.4.6 TRANSFORMADAS DE INTEGRALES
3.4.7 TEOREMA DE LA COMVOLACION
3.4.8 TRANSFORMADA DE LAPLECE DE UNA FUNCION PERIODICA
3.4.9 TRANSFORMADA DE LAPLECE DE UNA FUNCION DELTA
3.5 SOLUCION DE ECUACIONES
INTRODUCCION
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas de la inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.
Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
• Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
• Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
• Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
• Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.
3.1 TEORIA PRELIMINAR
La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Eulerhabía investigado un conjunto de integrales de la forma:
Como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:
Que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.
Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:
Análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de Joseph Fourier para resolver por medio de series de Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas.
Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.
La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyaciente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una ecuación diferencial de la forma:
Donde D es el operador diferencial, esto es, D = d / dx, entonces la solución general a dicha ecuación es de la forma:
.
Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En efecto, según la solución general, se cumple que:
Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la siguiente:
Esta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:
Heaviside propuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendría que:
Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial:
Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos puristas que los rechazaron argumentando
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