Ecuaciones Diferenciales TEMA : Lecturas 2013-A

Lecturas 2013-A

Walter Martin Zarria Sangama 1023120228

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERIA Y ELECTRONICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRICA

CURSO : Ecuaciones Diferenciales

TEMA : Lecturas 2013-A

PROFESOR : Juan Raimundo Fernandez

Nombre : Walter Martin Zarria Sangama

Código : 1023120228

Indice:

INTEGRACIÓN POR EL MÉTODO DE VILLARREAL

Polinomio de Villareal

FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA

Evariste Galois

INTEGRACIÓN POR EL MÉTODO DE VILLARREAL

Es bien conocido que las operaciones aritméticas de composición ( , , ) y descomposición ( , , ) cuando son tomadas en forma sucesiva no siempre es posible invertir el orden en la que se operan. Por ejemplo: a la cantidad agregarle y quitarle es lo mismo que quitarle primero y agregarle después , es decir

Pero si a la cantidad se agrega y se multiplica por no es lo mismo que multiplicar por y agregar , es decir: sino que debe añadirse para obtener el mismo resultado. Podemos resumir lo mencionado líneas arriba mediante el siguiente principio:

“cuando hay dos operaciones sucesivas de composición o descomposición, ambas del mismo orden, se puede invertir su cálculo; pero si son de distinto orden no se puede cambiar su enunciado sino con cierta condición; más si una o ambas operaciones son imposibles no es permitida su permutación”…(#)

El anterior principio sirve para mostrar que existen diferentes proposiciones suceptibles de una expresión general. Es así que el Dr. Villarreal plantea presentar el caso de integración por partes como uno suceptible de generalización.

Pasamos ahora a recordar (brevemente) en que se basa el método de integración por partes:

, esto por la regla de la derivada de un producto.

, integrando a ambos lados de la igualdad.

, usando el hecho que la derivada e integral son operadores inversos y despejando adecuadamente.

Podemos notar entonces que dada una integral esta es posible escribirla como siendo esta ultima expresada por la combinación de dos términos con signos alternados. Esto da pie a considerar la integración por partes como suceptible de generalización y a corroborar lo dicho en (#) puesto que escrita en términos de tomará una forma mas simple o complicada segun sean y escogidos en forma adecuada.

Recordemos tambien que el método de integración por partes puede subdividirse en dos casos:

 Descomponiendo la función en sumandos: este método es aplicable a funciones racionales, que descompuestos en sus fracciones parciales se pueden integrar algebraicamente o por logaritmos o por arco tangentes.

 Descomponiendo la función en factores: aplicable a los demás casos.

Al segundo método se le ha dado (impropiamente) el nombre de integración por partes, pues aunque los factores pueden considerarse como partes de ese producto, tambien lo son los sumandos como parte del total. Por tanto a los dos juntos deberían llamarseles integración por partes, a la primera integración por sumandos y a la segunda integración por factores.

Habiendo hecho notar los principios sobre los cuales el Dr. Federico Villarreal inicia su estudio sobre la integración por traspasos, finalizamos la primera parte. Dejando para el siguiente post la descripción del método en si.

Polinomio de Villareal

El 21 de octubre de 1879 Federico Villarreal presenta su tesis para optar el grado de Bachiller en Matemáticas, la cual estaba conformado de 4 temas:

1. Elevación de Polinomios

2. Transformación de Imaginarias

3. Volumen de Cuerpos Regulares

4. Integración por Partes

En el primer tema insertó un método para poder elevar un polinomio a un exponente cualquiera (real o complejo), este método es recursivo y de fácil aplicación. Describirémos este método de la manera como fue planteada en dicha tesis:

Sea un polinomio, el cual elevaremos al exponente “m” (este puede ser real o complejo) es decir:

la expresión resultante la denotamos por:

Notemos que el resultado puede ser otro polinomio de grado “m.n” si el exponente “m” fuera un número entero positivo, en tanto que si fuera real (no entero positivo) o complejo resultaría una serie infinita.

El método de villarreal establece previamente una simbología:

 El primer término del polinomio elevado al exponente de la potencia es el primero del desarrollo, de modo que se puede siempre suponer conocido a lo menos un término de la potencia, así tendremos: .

 Dividase el término del polinomio entre el primero y llámese el cociente , dividase el término entre el primero y sea el cociente , el cuarto término entre el primero y sea el cociente …. es decir dividiendo cada término del polinomio, desde el segundo inclusive entre el primero, se obtendrán tantos cocientes como términos menos uno tiene el polinomio.

 Aumentese uno al exponente de la potencia y llamando su suma i tendremos los índices: i,2i,3i, … es decir multiplicando los números naturales uno, dos, tres,… por el exponente aumentado en uno, se pueden obtener tantos índices como términos menos uno tiene el polinomio.

 Un término cualquiera se forma sumando los productos siguientes: el ultimo

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