TEOREMA DE EJE PARALELO PARA MOMENTO DE INERCIA Y MOMENTO POLAR DE INERCIA
Enviado por Lupita Pulquero • 2 de Diciembre de 2020 • Apuntes • 1.042 Palabras (5 Páginas) • 641 Visitas
TEOREMA DE EJE PARALELO PARA MOMENTO DE INERCIA Y MOMENTO POLAR DE INERCIA
El teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia: el momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje en su plano es igual al momento de inercia con respecto a un eje centroidal paralelo más el producto del área y el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.
El teorema es muy útil relativo a momentos de inercia de áreas planas, que se conoce como teorema de los ejes paralelos y que proporciona la relación entre el momento de inercia con respecto al eje centroidal y el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo.
Observamos que el momento de inercia aumenta cuando el eje se mueve paralelamente a si mismo alejándose del centroide. Por tanto, el momento de inercia con respecto a un eje centroidal es el momento de inercia menor de un área.
Al utilizar el teorema de los ejes paralelos es esencial recordar que uno de los dos ejes paralelos debe ser un eje centroidal.
Para deducir el teorema, consideramos un área con forma arbitraria con centroide C. También, consideramos dos conjuntos de ejes coordenados: los ejes con origen en el centroide y un conjunto de ejes paralelos xy con origen en cualquier punto O. Las distancias entre los dos conjuntos de ejes paralelos se denotan y . además, identificamos un elemento de área dA con coordenadas x y y con respecto a los ejes centroidales.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]
Con base en la definición de momento de inercia, podemos escribir la siguiente ecuación para el momento de inercia con respecto al eje x:[pic 5]
[pic 6]
La ecuación anterior se reduce, con respecto al eje x, a:
[pic 7]
De la misma manera para el momento de inercia con respecto al eje y, obtenemos:[pic 8][pic 9]
Momentos polares:
Ahora consideraremos un eje perpendicular al plano del área y que interseque el plano en el origen O. El momento de inercia con respecto a este eje perpendicular se denomina momento polar de inercia y se denota con el símbolo .[pic 10]
El momento polar de inercia con respecto a un eje en el punto O perpendicular al plano de la figura se define por la integral: [pic 11]
en donde es la distancia desde el punto O hasta el elemento diferencial de área dA. Esta integral tiene forma similar a las de los momentos de inercia e .[pic 12][pic 13][pic 14]
Puesto que , donde x y y son las coordenadas rectangulares del elemento dA, obtenemos la siguiente expresión para : [pic 15][pic 16][pic 17]
Y obtenemos la relación: [pic 18]
Los momentos polares de inercia con respecto a varios puntos en el plano de un área están relacionados por el teorema de los ejes paralelos para momentos polares de inercia. Para deducir este teorema, se denotan los momentos polares de inercia con respecto al origen O y al centroide C con e , respectivamente, entonces se puede escribir las siguientes ecuaciones: [pic 19][pic 20]
[pic 21][pic 22]
Refiriéndose al teorema de los ejes paralelos deducidos para momentos rectangulares de inercia, al sumar las dos ecuaciones se obtiene: [pic 23]
Sustituir en ecuaciones sabiendo que [pic 24]
Se obtiene: [pic 25]
Cuya ecuación representa el teorema de los ejes paralelos para momentos polares de inercia:
El momento polar de inercia de un área con respecto a cualquier punto O en su plano es igual al momento polar de inercia con respecto al centroide C más el producto del área y el cuadrado de la distancia entre los puntos O y C.
[pic 26]
Determine el momento de inercia del área de la sección transversal de
la viga T mostrada en la figura A-7a respecto al eje centroidal x’.
El área se divide en dos rectángulos como se muestra en la figura A-7a,
y se determina la distancia desde el eje x¿ hasta cada eje centroidal. Con
base en la tabla de la parte interior de la contraportada de este libro,
el momento de inercia de un rectángulo respecto a su eje centroidal es
I = 1
12 bh3. Al aplicar el teorema de los ejes paralelos en cada rectángulo,
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