“TEOREMA DE TALES” USO DE LA NOCIÓN DE RAZÓN COMO RECURSO PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

PROPUESTA DIDÁCTICA

“TEOREMA DE TALES” USO DE LA NOCIÓN DE RAZÓN COMO RECURSO PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS.

Con el trabajo que se presenta a continuación, pretendo dar a conocer una metodología que permita conocer si  los estudiantes establecen una relación entre la noción de razón y el contenido perteneciente al tercer bloque  “Teorema de Tales”, estipulado en el programa de estudio 2011 de Matemáticas, el cual tiene un enfoque didáctico basado en la resolución de problemas; por lo cual me permitiré explicar en el presente documento la implementación de actividades que podrían ayudar a lograr los aprendizajes esperados de dicho contenido y por otro lado llegar a la conclusión de, si los educandos son o no capaces de llegar a establecer la relación entre los conceptos mencionados anteriormente durante el desarrollo de las actividades propuestas.

Como parte del fundamento teórico adelanto que la noción de razón ha sido objeto de estudio independientemente de su vinculación con la fracción “en el contexto de la proporcionalidad, como relación que se expresa mediante dos cantidades (n a m; n de m, n por cada m, etc.)”, (Brainly, 2003) es decir, la noción de razón es la proporcionalidad que existe entre los elementos, por lo tanto, es un vínculo entre dos magnitudes que son comparables entre sí, que resulta cuando una de las magnitudes o cantidades se divide o se resta por otra; expresándose así como fracciones o como números decimales.

Fundamento teórico Teorema de Tales 

Cuando en geometría hablamos del  Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen  dos teoremas  atribuidos al matemático griego  Tales de Mileto, siglo VI a. C.:

• El primero de ellos se refiere a la  construcción de un triángulo  que sea  semejante  a otro existente.
• El segundo esclarece una  propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos  (los circuncentros se encuentran  en el punto medio de su hipotenusa).

En esta ocasión solamente nos centraremos en el primer Teorema, debido a que en este podemos establecer una relación con la noción de razón; como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son  semejantes  si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí.

Dicho teorema recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

A continuación se muestra el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

[pic 1]

Lo que se traduce en la fórmula

[pic 2]

Ejemplo: Hallar las medidas de los segmentos a y b .

[pic 3]

Aplicamos la fórmula, y tenemos

[pic 4][pic 5][pic 6]

Como vemos, la principal aplicación del teorema, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura de arriba se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.

En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:

[pic 8]

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si dos rectas cualesquiera (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

[pic 9][pic 10]

A continuación se da un ejemplo de la aplicación de dicha variante:

Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x.

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x.

[pic 11][pic 12]

[pic 13][pic 14]

LA PROPUESTA DIDÁCTICA “TEOREMA DE TALES”

El propósito general de la secuencia didáctica que se presenta a continuación es propiciar que los estudiantes apliquen el teorema de Tales tomando como recurso la noción de razón en la resolución de problemas.

El propósito más específico es que los alumnos logren resolver problemas geométricos de semejanza, empleando el Teorema de Tales y la noción de razón proporcional.

Lo anterior con la finalidad de que los alumnos sean capaces de aplicar los conocimientos adquiridos en la solución de problemas que se les puedan presentar en la vida cotidiana.

METODOLOGÍA

La propuesta didáctica consiste en una secuencia de actividades articuladas entre sí que se desarrollan a lo largo de tres sesiones.

La secuencia didáctica la  aplicará un docente en un grupo de 50 alumnos de tercer grado de una escuela secundaria pública matutina. El nivel de desempeño del grupo es heterogéneo al igual que sus estilos de aprendizaje (modos característicos por los que un individuo procesa la información, siente y se comporta en las situaciones de aprendizaje) R. M. Smith (1988), siendo esta la principal razón por la cual, en el desarrollo de las sesiones se realicen actividades que permitan visualizar, escuchar e interactuar con el conocimiento, de manera que se facilite el proceso de aprendizaje.

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