Tarea Probabilidades

Tres grandes farmacéuticas se encuentran en una carrera frenética por conseguir una vacuna para una

rara enfermedad que está afectando el mundo entero. Han estado trabajando desde hace varios meses

y estiman que pronto podrán patentar y sacar al mercado la tan anhelada vacuna. La farmacéutica

PAX estima que el tiempo restante para producir la vacuna distribuye Uniforme entre 100 y 190 días.

Por su parte, la farmacéutica CLAPS cree que logrará producir la vacuna en un tiempo que distribuye

Normal con media 140 días y desviación estándar 30,5 días. Por último, la farmacéutica SPARKS

cree firmemente que logrará producir la vacuna en un tiempo que distribuye Normal con media 145

días y desviación estándar 20,5 días.

1- Las tres farmacéuticas se enteraron que el laboratorio de Infectología de la Universidad de

Oxford se encuentra bastante avanzado en sus pruebas y con toda seguridad tendrá la

vacuna lista para producir en 130 días más (en el instante en que se inicia el día 130) ¿Cuál

es la probabilidad que PAX y/o CLAPS y/o SPARKS logre(n) producir la vacuna antes que

la Universidad de Oxford? (utilice 2 decimales) (7 puntos)

Respuesta:

Definamos la probabilidad que cada farmacéutica logre producir la vacuna en 129 días o menos,

para lo anterior tenemos que:

PP: tiempo transcurrido hasta que la farmacéutica PAX logre producir la vacuna.

PC: tiempo transcurrido hasta que CLAPS logre producir la vacuna.

PS: tiempo transcurrido hasta que SPAKS logre producir la vacuna.

Dado lo anterior tenemos que:

P(PP ≤ 129) =

129 − 100

190 − 100 = 0,32

P(PC ≤ 129) = P (Z ≤

129 − 140

30,5

) = P(Z ≤ −0,36) = 0,36

P(PS ≤ 129) = P (Z ≤

129 − 145

20,5

) = P(Z ≤ −0,78) = 0,22

Tomando en cuenta lo anterior, la probabilidad que una o dos o las tres farmacéuticas logren

producir la vacuna antes que el laboratorio de la Universidad de Oxford es:

P(Producción de Farmacéutica Previo a la Universidad de Oxford) =

= P(PP ≤ 129) ∙ P(PC > 129) ∙ P(PS > 129) + P(PP > 129) ∙ P(PC ≤ 129)

∙ P(PS > 129) + P(PP > 129) ∙ P(PC > 129) ∙ P(PS ≤ 129)

+ P(PP ≤ 129) ∙ P(PC ≤ 129) ∙ P(PS > 129) + P(PP ≤ 129)

∙ P(PC > 129) ∙ P(PS ≤ 129) + P(PP > 129) ∙ P(PC ≤ 129) ∙ P(PS ≤ 129)

+ P(PP ≤ 129) ∙ P(PC ≤ 129) ∙ P(PS ≤ 129)

= (0,32) ∙ (1 − 0,36) ∙ (1 − 0,22) + (1 − 0,32) ∙ (0,36) ∙ (1 − 0,22) + (1 − 0,32)

∙ (1 − 0,36) ∙ (0,22) + (0,32) ∙ (0,36) ∙ (1 − 0,22) + (0,32) ∙ (1 − 0,36)

∙ (0,22) + (1 − 0,32) ∙ (0,36) ∙ (0,22) + (0,32) ∙ (0,36) ∙ (0,22) = 0,67

Finalmente, la probabilidad que una o dos o las tres farmacéuticas logren producir la vacuna antes

que el laboratorio de la Universidad de Oxford es 0,67.

2- Han pasado 100 días y ninguna de las tres farmacéuticas ha logrado aún producir la vacuna

¿Cuál es la probabilidad que PAX y/o CLAPS y/o SPARKS logre(n) producir la vacuna

antes que la Universidad de Oxford? (utilice 2 decimales) (8 puntos)

Respuesta:

Definamos la probabilidad que cada farmacéutica logre producir la vacuna en 29 días o menos,

dado que ya han transcurrido 100 días. Para lo anterior tenemos que:

PP100: tiempo transcurrido hasta que la farmacéutica PAX logre producir la vacuna dado que han

pasado 100 días.

PC100: tiempo transcurrido hasta que CLAPS logre producir la vacuna dado que han pasado 100

días.

PS100: tiempo transcurrido hasta que SPAKS logre producir la vacuna dado que han pasado 100

días.

Dado lo anterior tenemos que:

P(PP100 ≤ 29) =

129 − 100

190 − 100 = 0,32

P(PC100 ≤ 29) = P(PC ≤ 129|PC > 100) =

P(PC ≤ 129 y PC > 100)

P(PC > 100)

=

=

P(PC ≤ 129) − P(PC ≤ 100)

1 − P(PC ≤ 100)

=

P(Z ≤ −0,36) − P(Z ≤ −1,31)

1 − P(PC ≤ −1,31)

=

0,36 − 0,09

1 − 0,09 = 0,29

P(PS100 ≤ 29) = P(PS ≤ 129|PS > 100) =

P(PS ≤ 129 y PS > 100)

P(PS > 100)

=

=

P(PS ≤ 129) − P(PS ≤ 100)

1 − P(PS ≤ 100)

=

P(Z ≤ −0,78) − P(Z ≤ −2,19)

1 − P(PC ≤ −2,19)

=

0,22 − 0,01

1 − 0,01 = 0,21

Tomando en cuenta lo anterior, la probabilidad que una o dos o las tres farmacéuticas logren

producir la vacuna antes que el laboratorio de la Universidad de Oxford dado que han ya han

transcurrido 100 días es:

P(Producción de Farmacéutica Previo a la Universidad de Oxford | 100 días) =

= P(PP100 ≤ 29) ∙ P(PC100 > 29) ∙ P(PS100 > 29) + P(PP100 > 29) ∙ P(PC100 ≤ 29)

∙ P(PS100 > 29) + P(PP100 > 29) ∙ P(PC100 > 29) ∙ P(PS100 ≤ 29)

+ P(PP100 ≤ 29) ∙ P(PC100 ≤ 29) ∙ P(PS100 > 29) + P(PP100 ≤ 29)

∙ P(PC100 > 29) ∙ P(PS100 ≤ 29) + P(PP100 > 29) ∙ P(PC100 ≤ 29)

∙ P(PS100 ≤ 29) + P(PP100 ≤ 29) ∙ P(PC100 ≤ 29) ∙ P(PS100 ≤ 29)

= (0,32) ∙ (1 − 0,29) ∙ (1 − 0,21) + (1 − 0,32) ∙ (0,29) ∙ (1 − 0,21) + (1 − 0,32)

∙ (1 − 0,29) ∙ (0,21) + (0,32) ∙ (0,29) ∙ (1 − 0,21) + (0,32) ∙ (1 − 0,29)

∙ (0,21) + (1 − 0,32) ∙ (0,29) ∙ (0,21) + (0,32) ∙ (0,29) ∙ (0,21) = 0,66

Finalmente, la probabilidad que una o dos o las tres farmacéuticas logren producir la vacuna antes

que el laboratorio de la Universidad de Oxford, dado que han transcurrido 100 días es 0,66.

NOTA: en este “Caso” puede considerarse correcta la restricción de menor o igual 129, o bien,

menor o igual a 130. La diferencia radica en el instante en que se consideró el inicio, en el “primer

segundo” del día “cero” o en el “último segundo” del día “cero”. Dado que no se encontraba

especificado en el planteamiento del problema, ambas respuestas se considerarán correctas.

Preservando la Vida Silvestre

Con el fin de asegurar el futuro de los ostiones en las costas del Pacífico Sur, el Servicio de Pesca y

Vida Silvestre de Chile (UPVS) exige que, en cualquier barco comercial de pesca, el peso promedio

de carne por ostión de una captura completa debe ser al menos 0,5 onzas. Habitualmente, los ostiones

crecen a medida que envejecen (esta medida evita la captura de ostiones con poco tiempo de vida).

El UPVS tiene la facultad de multar severamente a aquellos barcos que incumplan esta norma.

El peso de los ostiones no es Normalmente distribuido, por lo que uno debiese esperar que la “edad”

de los ostiones tampoco distribuya Normal. Ya que es impracticable pesar cada ostión luego de que

cada barco retorne a tierra firme con su captura, los inspectores del UPVS basan sus acciones en una

muestra. Para una captura dada, colectan 1.000 ostiones utilizando una apropiada técnica que asegura

el azar de la muestra. Luego los inspectores calculan el peso promedio de la carne de los ostiones de

la muestra. Denotemos x̅y s̅como la media muestral observada y desviación estándar muestral

observada del peso de la carne de una muestra dada de ostiones realizada por los inspectores de la

UPVS. Si x̅≥ 0,5 onzas, los inspectores no penalizarán al barco comercial de pesca inspeccionado.

Si x̅≤ 0,45 onzas, entonces el UPVS confiscará la captura completa de ostiones. Y por último, si

0,45 < x̅< 0,5 el UPVS confiscará 20 ∙ (0,5 − x̅) ∙ 100% de la captura.

Suponga que el UPVS aborda un barco cuya captura es de 10.000.000 de ostiones y los inspectores

colectan una muestra aleatoria de 1.000 ostiones. Luego de pesar la muestra, los resultados arrojan

que x̅= 0,48 y s̅= 0,3 onzas.

1- Denotemos w como el peso promedio de la carne de los 10.000.000 de ostiones del barco

inspeccionado ¿Cuán confiados están los inspectores de que w es menor o igual a 0,5 onzas?

En otras palabras, ¿Cuál es el grado de confianza de que la captura está realmente violando

la norma del UPVS? (utilice 5 decimales) (3 puntos)

Respuesta:

La pregunta se puede traducir como:

x̅+

c ∙ s̅

√n

≤ 0,5

0,48 +

c ∙ 0,3

√1.000

≤ 0,5

c ≤ 2,10819

Dado lo anterior los inspectores tienen un nivel de confianza de alrededor del 98,2%.

Una forma alternativa sería:

L =

c ∙ s̅

√n

0,02 =

c ∙ (0,3)

√1.000

c = 2,10819

Dado lo anterior los inspectores tienen un nivel de confianza de alrededor del 98,2%.

2- Asuma que se está inspeccionando un barco cuya muestra tiene un peso promedio de la carne

de ostiones de 0,5 onzas y que la desviación estándar de este peso es de 0,5 onzas ¿Cuál es la

probabilidad que el peso promedio de la carne de ostiones de la muestra n = 1. 000 sea 0,47

onzas o menos? (utilice 5 decimales) (3 puntos)

Respuesta:

En este caso la pregunta se puede “traducir” en ¿Cuál es la probabilidad que la diferencia entre

...