Teorema de Pitagoras

TEOREMA DE PITÁGORAS

Es indudable el uso que dentro y fuera de las matemáticas se le da al teorema de Pitágoras. Dentro de la geometría podemos decir que es el teorema más usado, tanto desde el punto de vista teórico, como práctico como herramienta para calcular ángulos, áreas, longitudes de lados, radios, apotemas, diagonales, aristas, etc.

ENUNCIADO Y DEMOSTRACIONES.

Dado un triángulo rectángulo (uno de sus ángulos es de 90º), donde “a y b” son las medidas de los catetos (lados contiguos al vértice de 90º), y “c” es la medida de la hipotenusa (lado opuesto al vértice de 90º). Entonces se verifica que c² = a² + b².

De aquí se desprende que :

El recíproco del teorema de Pitágoras dice que si tenemos tres segmentos de forma que sus medidas cumplenh²=a²+b² entonces el triángulo formado a partir de esos segmentos es un triángulo rectángulo.

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA

Demostración 1.- Henry Perigal ideó esta magnífica demostración en 1830, aunque no la publicó hasta 1873. Su característica principal es que podemos construir el cuadrado correspondiente a la hipotenusa a base de piezas de los dos pequeños.

El corte se da en la mitad del exceso del lado del cuadrado grande sobre el pequeño. Obsérvese que las dos líneas de corte del cuadrado mediano pasan por el centro y que una de ellas es paralela a la hipotenusa, mientras que la otra es perpendicular. Si a uno le dan las piezas antes de haber visto el diagrama no resulta fácil componer el cuadrado grande.

Demostración 2.- Esta es una demostración gráfica, consiste en dibujar los cuadrados de los lados del triángulo (trazar perpendiculares en los vértices), dividirlos en unidades cuadradas y contarlas, así :

Demostración 3.- Ahora pondremos en práctica otra demostración, muy práctica, sencilla y fácil de entender.

Los conceptos y propiedades que se usan para esta demostración son relativas a la ÁREAS. Además es una demostración fácilmente realizable recortando y colocando las figuras de los dos cuadrados adecuadamente podemos demostrar la veracidad de este teorema.

Previo a esto debemos recordar la definición y propiedades de ÁREA:

ÁREA es aquella cantidad de superficie que se encuentra encerrada dentro de una figura geométrica, sus propiedades elementales son.

El área de una figura geométrica no varía, cuando sobre la figura realizamos acciones tales como cortar y pegar. Gracias a esta propiedad del área se calculan infinidad de áreas de figuras, como por ejemplo el área del paralelogramo.

Si a una figura le quitamos una porción de área conocida, entonces el área de la figura resultante será el área de la figura inicial menos el área de la porción quitada. Así conociendo el área de un rectángulo y la de un triángulo, podemos calcular el área de un trapecio.

Así también, si envés de quitar una porción se la añadimos. Así, si a una figura de área conocida, le agregamos una porción de área también conocida, el área de la figura resultante será la suma de las áreas. Observemos los siguientes dibujos :

Como podemos observar los cuadrados son congruentes, sus lados son (a+b) y (a+b) así que también tienen la misma área .. A = L² = (a+b)².

Si a estas figuras les quitamos una porción idéntica de área, las figuras resultantes también tendrán igualdad en sus áreas.Así en el primer cuadrado hemos sombreado la parte que le vamos a quitar, que son cuatro triángulos congruentes, y se ve claramente que el área resultante es h² (hipotenusa al cuadrado), ya que la figura que nos ha quedado es un cuadrado de ladoh.

En el segundo cuadrado también quitamos los cuatro triángulos iguales, pero en una distribución diferente, y nos han quedado dos cuadrados uno de lado “a” y otro de lado “b”, cuyas áreas son a² y b² , quedando como área resultante a²+b².

Ahora, relacionando las dos figuras resultantes y haciendo uso de la propiedad sobre las áreas que dice: “Si a una figura le quitamos una porción de área conocida, entonces el área de la figura resultante será el área de la figura inicial menos el área de la porción quitada” , la equivalencia final será :

Demostración 4.- Otra demostración del teorema de Pitágoras es aplicando el teorema del cateto, haciendo uso de mecanismos algebraicos.

Teorema del cateto: Sea ABC un triángulo rectángulo sobre su vértice A. Sea H la proyección ortogonal (perpendicular) del vértice A sobre el lado BC, entonces se verifica que:

AB²=BH.BC

AC²=CH.BC

Por lo tanto, la suma de los cuadrados de los catetos será :

AB²+AC² = BC.(BH+CH) = BC.BC = BC².

Generalización

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