Trabajo De Escuela

Método de análisis-síntesis

Enviado por jmd el 23 de Octubre de 2009 - 08:13.

Más acá de la solución de problemas --o, mejor dicho, de las estrategias de solución de problemas-- están los modos de razonamiento que han probado su eficacia en la ciencia y la filosofía. Uno de ellos se conoce desde los griegos y se llama método de análisis-síntesis. Como este método del razonar no se encuentra en los libros de texto, es posible que resulte de alguna utilidad para los lectores de MaTeTaM conocerlo en un primer acercamiento a través de este post.

Imre Lakatos (Matemáticas, ciencia y epistemología, 1978, Madrid, Alianza) lo plantea como una regla del razonar (p. 106):

Saca conclusiones de tu conjetura, una tras otra, suponiendo que la conjetura es verdadera. Si llegas a una conclusión falsa, entonces la conjetura era falsa. Si llegas a una conclusión indudablemente verdadera, tu conjetura quizá haya sido verdadera. En este caso, invierte el proceso, trabaja hacia atrás, e intenta deducir tu conjetura original por el camino inverso, desde la verdad indudable hasta la conjetura dudosa. Si tienes éxito, habrás probado tu conjetura.

La primera parte es el análisis, la segunda la síntesis. Este método ha sido llamado tambiénmétodo progresivo-regresivo por razones obvias. En la parte del análisis se avanza en la búsqueda de una verdad indudable a través de deducciones sucesivas; en la de síntesis se regresa el proceso y se redacta la demostración. La parte del análisis es la parte del descubrimiento y no es necesario exhibirla en la demostración (de hecho nunca se muestra en los textos de matemáticas pues se considera –con razón—no formal y una digresión irrelevante).

Pero, si bien la parte del análisis es irrelevante para la demostración, sí que es muy relevante para que el aprendiz se apropie de los modos de razonamiento aprobados por la práctica (del razonar) y que son un legado cultural de nuestros antepasados. (Ahora que, bueno, posiblemente al aprendiz no le interese aprender a razonar y lo que quiere es más bien que le digas lo que tienes que decir en dos renglones --y mejor si le pones un cuestionario para aprendérselo de memoria sin necesidad de pensar… ni bueno ni malo, es simplemente un hecho de nuestro mundo contemporáneo.)

Ilustremos el método de análisis-síntesis con el teorema de la desigualdad de las medias geométrica y aritmética:

Sean x,y números positivos. Entonces se cumple la desigualdad xy−−√≤(x+y)/2, con igualdad si y sólo si x=y.

Análisis: Supongamos cierta la desigualdad. Quitando denominadores, la desigualdad es equivalente a x+y\geq{2\sqrt x\sqrt y. Es decir, a x+y−2x√y√≥0. O sea, a (x√−y√)2≥0. Lo cual es una verdad indudable. (Se concluye que la desigualdad es posiblemente verdadera.)

Síntesis: Invirtiendo el proceso vamos a redactar la demostración. (Nota: las deducciones no siempre son invertibles como en este ejemplo.)

Demostración: Sean x,y números positivos. Entonces podemos extraerles su raíz cuadrada. Claramente (x√−y√)2≥0 y es cero si y sólo si x=y. El resultado se sigue desarrollando el binomio y pasando el doble producto al lado derecho.

Nota: si uno quiere ahorrarse el regreso (y esconder totalmente el análisis) lo que se debe hacer es una prueba por contradicción:

Demostración alternativa (por contradicción): Supongamos con miras a lograr una contradicción que xy−−√ es mayor que (x+y)/2. En ese caso, pasando todo al lado derecho logramos un binomio al cuadrado que es negativo.

Comentario final:

Como se sabe, una didáctica de las matemáticas que se precie de ser profesional debería incluir la reticencia como regla de comunicación. Es decir, no debe decirlo todo, y menos de un solo golpe, en una sola sesión, pues

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