Trabajo Unidad 5 Álgebra Lineal

Contenido

Introducción        

1.        Definiciones y ejemplos de transformaciones lineales        

Reflexión respecto al eje x        

Transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.        

Transformación lineal de R2 en R3        

La transformación en cero        

La transformación identidad        

Transformación de reflexión        

Transformación de Rn →  Rm dada por la multiplicación por una matriz de m × n        

Transformación de rotación        

Transformación de proyección ortogonal        

Dos operadores de proyección        

Operador de trasposición        

Operador diferencial        

Una transformación que no es lineal        

2.        Propiedades de las transformaciones lineales        

Teorema 1        

Teorema 2        

Ejemplo 1        

Definición 1        

Teorema 4        

Ejemplo 3.        

Ejemplo 4        

Ejemplo 5        

Definición 2        

Ejemplo 6.        

3.        Representación Matricial de una transformación lineal        

Representación Matricial de una transformación lineal        

Teorema  1        

Definición de Matriz de Transformación        

Teorema 2        

Ejemplo 1        

Ejemplo 2        

Ejercicios y respuestas propuestos por el maestro:        

Ejercicios Propuestos por el Alumno:        

Conclusiones        

Referencias        

Introducción

Este trabajo hablará sobre la quinta unidad de la materia Álgebra Lineal el cual es transformaciones lineales, estamos haciendo este trabajo ya que nuestro profesor por un problema de tiempo pudo alcanzar a ver estos interesantes temas y ya que son necesarios para nuestro aprendizaje se nos encargó este enriquecedor trabajo para conocer acerca de él.

1. Definiciones y ejemplos de transformaciones lineales

Para poder comprender este tema primero debemos tener un leve conocimiento de lo que son los espacios vectoriales, el cual este tema lo vimos anteriormente en la unidad 4, por otro lado tenemos que empezar definiendo transformaciones lineales la cual se puede definir como: las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios. Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares. Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos será sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos cómo se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones. Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.

 Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función
T: V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:

         a) T (u + v) = T (u) + T (v)

 b) T (c u) = c T (u)

Demuestre que la transformación T: R2 →R2 definida por

                        [pic 2]

Es lineal. 

                  [pic 3]

Entonces: 
                    

   [pic 4]

Por otro lado, para todo escalar c,

          [pic 5]

Como se cumplen las dos condiciones:    

   
                        [pic 6]

T es lineal.

Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

Para esto se dan varios ejemplos de transformaciones lineales, cada uno con su particular procedimiento.

Reflexión respecto al eje x

1. En R2 se define una función T mediante la fórmula  T = (x/) =  (x /y) Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. Una vez que se ha dado la definición básica, se verá que T es una transformación lineal de R2 en R2.

[pic 7]

Transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.[pic 8]

 Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3, y P4  y a los materiales por R1, R2 y R3.

La tabla siguiente muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.[pic 9]

Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Sean p1, p2, p3 y p4 el número de artículos fabricados en los cuatro productos y sean r1, r2, y r3 el número de unidades necesarios de los tres materiales. Entonces se define:

[pic 10]

Suponga que P = (10, 30, 20, 50)

¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos?

r1=p1*2+ p2*1+ p3 *3+ p4 *4=10*2+30*1+20*3+50*4=310 unidades

r2 =10*4+30*2+20*2+50*1=190 unidades

r3=10*3+30*3+20*1+50*2=240 unidades

En general se ve que o A P = r, Esto se puede ver de otra manera. Si a P se le conoce como le vector de producción y a r como el vector de materia prima, se define la función T= T (p)= Ap.

[pic 11]

Transformación lineal de R2 en R3

[pic 12]

 La transformación en cero

Sean V y W espacios vectoriales y defina T: V→ S W por Tv = 0 para todo v en V. Entonces             T(v1 + v2) = 0 = 0 +  0 = Tv1 + Tv2 y T(αv) = 0 = α0 = αTv. En ese caso, T de denomina la transformación cero.

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