Transformaciones lineales (resumen)

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TAPACHULA

ALGEBRA LINEAL

Transformaciones lineales(resumen)

Javier Rodas Juárez

2 º “A”

Ing. Electromecánica

Jorge Fernando Fernández de la Rosa

Tapachula Chiapas

La transformación lineal de matrices son operaciones lineales mediante matrices que modifican la dimensión inicial de un vector dado.

En otras palabras, podemos modificar la dimensión de un vector multiplicándolo por una matriz cualquiera.  

Las transformaciones lineales son la base de los vectores y valores propios de una matriz dado que dependen linealmente unos de otros. 

Matemáticamente

Definimos una matriz C cualquiera de dimensión 3×2 multiplicada por un vector V de dimensión n=2 tal que V=(v1,v2). 

[pic 1]

¿De qué dimensión será el vector resultado?

El vector resultado del producto de la matriz C3×2con el vector V2×1será un nuevo vector V’ de dimensión 3.  

[pic 2]

Este cambio de dimensión del vector es debido a la transformación lineal mediante la matriz C.

Ejemplo práctico 

Dada la matriz cuadrada R con dimensión 2×2 y el vector V de dimensión 2.

[pic 3]

Una transformación lineal de la dimensión del vector V es: 

[pic 4]

donde la dimensión inicial del vector V era 2×1 y ahora la dimensión final del vector V es3×1. Este cambio de dimensión se consigue mediante la multiplicación de la matriz R.

¿Estas transformaciones lineales pueden representarse gráficamente? ¡Pues claro!

Representaremos el vector resultado V’ en un plano. 

Entonces:

V = (2,1) 

V’ = (6,4)

Gráficamente

[pic 5]

Vectores propios mediante representación gráfica

¿Cómo podemos determinar que un vector es un vector propio de una matriz dada con tan solo mirando la gráfica?

Definimos la matriz D de dimensión 2×2: 

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