Transformaciones lineales.

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Transformaciones lineales

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

Sean (V;+V ; ¢V ) y (W;+W ; ¢W ) dos K-espacios vectoriales. Una función

f : V ! W se llama una transformación lineal (u homomor¯smo, o simplemente mor¯smo)

de V en W si cumple:

i) f(v +V v0) = f(v) +W f(v0) 8 v; v0 2 V:

ii) f(¸ ¢V v) = ¸ ¢W f(v) 8 ¸ 2 K; 8 v 2 V:

Si f : V ! W es una transformación lineal, entonces f(0V ) = 0W.

En efecto, puesto que f(0V ) = f(0V + 0V ) = f(0V ) + f(0V ), entonces.

0W = f(0V ) + (¡f(0V )) = f(0V ) + f(0V )  + (¡f(0V )) =

= f(0V ) + f(0V ) + (¡f(0V )) = f(0V ) + 0W = f(0V ):

EJEMPLOS:

1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0 : V ! W, definida  por 0(x) = 0W

ʉ x € V , es una transformación lineal.

2. Si V es un K-espacio vectorial, id : V ! V definida por id(x) = x es una transformación

Lineal.

3. Sea A 2 Km£n. Entonces fA : Kn ! Km definida por fA(x) = (A:xt)t es una

Transformación lineal.

4. f : K[X] ! K[X], f(P) = P0 es una transformación lineal.

5. F : C(R) ! R, donde C(R) = ff : R ! R j f es continua g, F(g) =

R1 g(x) dx es una transformación lineal.

Como hemos mencionado al comienzo, las transformaciones lineales respetan la estructura de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio, por ejemplo en las imágenes y pre-imágenes de subespacios por transformaciones lineales:

Sea f : V ! W una transformación lineal. Entonces:

1. Si S es un subespacio de V , entonces f(S) es un subespacio de W.

2. Si T es un subespacio de W, entonces f¡1(W) es un subespacio de V .

Demostración.

1. Sea S µ V un subespacio y consideremos f(S) = fw 2 W = 9 s 2 S; f(s) = wg.

(a) 0W 2 f(S), puesto que f(0V ) = 0W y 0V 2 S.

(b) Sean w;w0 2 f(S). Entonces existen s; s0 2 S tales que w = f(s) y w0 = f(s0).

Luego w + w0 = f(s) + f(s0) = f(s + s0) 2 f(S), puesto que s + s0 2 S.

(c) Sean ¸ 2 K y w 2 f(S). Existe s 2 S tal que w = f(s). Entonces ¸¢w = ¸¢f(s) =

f(¸ ¢ s) 2 f(S), puesto que ¸ ¢ s 2 S.

2. Sea T un subespacio de W y consideremos f¡1(T) = fv 2 V = f(v) 2 Tg.

(a)0V 2 f¡1(T), puesto que f(0V ) = 0W 2 T.

(b) Sean v; v0 2 f¡1(T). Entonces f(v); f(v0) 2 T y, por lo tanto, f(v + v0) = f(v) +

f(v0) 2 T. Luego v + v0 2 f¡1(T).

(c) Sean ¸ 2 K, v 2 f¡1(T). Entonces f(v) 2 T y, en consecuencia, f(¸¢v) = ¸¢f(v) 2

T. Luego ¸ ¢ v 2 f¡1(T).        

Hallar, si es posible, una transformación lineal f : R2 ! R2 que verifique f(1; 1) =

(0; 1) y f(1; 0) = (2; 3).

Dado (x1; x2) 2 R2 se tiene que (x1; x2) = x2(1; 1)+(x1¡x2)(1; 0). Entonces, si f verifica

lo pedido, debe ser

f(x1; x2) = x2:f(1; 1) + (x1 ¡ x2):f(1; 0) = x2:(0; 1) + (x1 ¡ x2):(2; 3) = (2x1 ¡ 2x2; 3x1 ¡ 2x2):

Además, es fácil ver que esta función es una transformación lineal y que vale f(1; 1) = (0; 1) y f(1; 0) = (2; 3).

Luego, f(x1; x2) = (2x1 ¡ 2x2; 3x1 ¡ 2x2) es la única transformación lineal que satisface lo pedido. La construcción realizada en el ejemplo puede hacerse en general. Por simplicidad, lo probaremos para el caso en que el dominio de la transformación lineal es un K-espacio vectorial de dimensión finita.

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