TRANSFORMACIONES LINEALES

1. TEMA:

Transformaciones lineales

1. OBJETIVO GENERAL

• Desarrollar y perfeccionar nuestras capacidades de razonamiento y estrategias de aprendizaje para abordar con éxito contenidos específicos de otras asignaturas del plan de estudios a partir del aprendizaje significativo de los conceptos básicos de Algebra Lineal y sus técnicas operativas.

1. OBJETIVO ESPECIFICO

• . Valorar el rol de Algebra lineal como instrumento eficaz para modelar, resolver y analizar problemas situaciones de diversos ámbitos de las ciencias y la tecnología.
• . Apreciar la importancia del uso correcto de calculadoras y de herramientas computacionales en la resolución de problemas.
• . Comprender el tema sin problemas y dominarlo sabiendo entenderlo correctamente para la respectiva resolución de ejercicios.

1. RESUMEN

En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales VV y WW, y una función que va de VV a WW. O sea, una regla de asignación que transforma vectores

de VV en vectores de WW. Pero no toda función que transforme vectores de VV en vectores de WW es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:

F: V→WF.V→W es una transformación lineal si y sólo si:

1. F(u+v) =F(u)+F(v)    ∀u, v∈VF(u+v) =F(u)+F(v)    ∀u, v∈V
2. F (k.v) =k. F(v)       ∀v∈V, ∀k∈R

1. MARCO TEORICO

Definición: Sean (V, +V, ·V) y (W, +W, ·W) dos K-espacios vectoriales. Una función f: V → W se llama una transformación lineal de V en W si cumple:

1. f (v +V v0) = f(v) +W f(v0)        ∀v, v0 ∈ V.
2. f (λ ·V v) = λ ·W f(v)        ∀λ ∈ K, ∀v ∈ V.

Observación: Si f: V → W es una transformación lineal, entonces f (0V) = 0W.

En efecto, puesto que f (0V) = f (0V + 0V) = f (0V) + f (0V), entonces

        ³        ´

        0W        =        f (0V ) + (−f (0V )) =f (0V ) + f (0V ) + (−f (0V )) =

        ³        ´

        =        f (0V ) + f (0V ) + (−f (0V ))= f (0V ) + 0W = f (0V ).

Ejemplos.

1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0: V → W, definida por 0(x) = 0W ∀x ∈ V, es una transformación lineal.
2. Si V es un K-espacio vectorial, id: V → V definida por id(x) = x es una transformación lineal.
3. Sea A ∈ Km×n. Entonces fA : Kn → Km definida por fA(x) = (A.xt)t es una transformación lineal.
4. f: K[X] → K[X], f(P) = P0 es una transformación lineal.
5. F: C(R) → R, donde C(R) = {f: R → R | f es continua}, F(g) =        g(x)dx es una

transformación lineal.

Como hemos mencionado al comienzo, las transformaciones lineales respetan la estructura de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio, por ejemplo, en las imágenes y pre-imágenes de subespacios por transformaciones lineales:

Proposición 1: Sea f: V → W una transformación lineal. Entonces:

1. Si S es un subespacio de V, entonces f(S) es un subespacio de W.
2. Si T es un subespacio de W, entonces f−1(W) es un subespacio de V.

Demostración.

1. Sea S ⊆ V un subespacio y consideremos f(S) = {w ∈ W /∃s ∈ S, f(s) = w}.

1. 0W ∈ f(S), puesto que f (0V ) = 0W y 0V ∈ S.
2. Sean w, w0 ∈ f(S). Entonces existen s, s0 ∈ S tales que w = f(s) y w0 = f(s0). Luego w + w0 = f(s) + f(s0) = f (s + s0) ∈ f(S), puesto que s + s0 ∈ S.
3. Sean λ ∈ K y w ∈ f(S). Existe s ∈ S tal que w = f(s). Entonces λ·w = λ·f(s) = f (λ · s) ∈ f(S), puesto que λ · s ∈ S.

1. Sea T un subespacio de W y consideremos f−1(T) = {v ∈ V /f(v) ∈ T}.

1. 0V ∈ f−1(T), puesto que f (0V ) = 0W ∈ T.
2. Sean v, v0 ∈ f−1(T). Entonces f(v), f(v0) ∈ T y, por lo tanto, f (v + v0) = f(v) + f(v0) ∈ T. Luego v + v0 ∈ f−1(T).
3. Sean λ ∈ K, v ∈ f−1(T). Entonces f(v) ∈ T y, en consecuencia, f(λ·v) = λ·f(v) ∈

        T. Luego λ · v ∈ f−1(T).        ¤

De la Definición se deduce inmediatamente que una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívocamente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio. Comenzamos con un ejemplo.

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