UNIDAD 1. INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACION

UNIDAD 1. INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACION

1.1 CONCEPTOS BÁSICOS.

En inferencia estadística se llama estimación al conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parámetro de una población a partir de los datos proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una estimación de la media de una determinada característica de una población de tamaño N podría ser la media de esa misma característica para una muestra de tamaño n.

La estimación se divide en tres grandes bloques, cada uno de los cuales tiene distintos métodos que se usan en función de las características y propósitos del estudio:

 Estimación puntual:

 Método de los momentos;

 Método de la máxima verosimilitud;

 Método de los mínimos cuadrados;

 Estimación por intervalos.

 Estimación bayesiana.

1.2 DISTRIBUCIONES DE MUESTREO.

Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene cierto observa.

Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una población.

La distribución muestral, es la distribución de probabilidad de una estadística; es una función de las variables aleatorias que se observan en la muestra, que resulta de un número infinito de muestras aleatorias de tamaño, mutuamente independientes; provenientes de la población de interés.

Distribución de Muestreo de la Media. Un estadístico está distribuido normalmente cuando la muestra que se toma es grande, conocido como el teorema del límite central. Cuando el tamaño de la muestra es grande y la varianza de la población es conocida se toma la distribución normal estándar como estadístico de prueba. Pero cuando el tamaño de la muestra no es grande y a su vez se desconoce la varianza de la población, es aconsejable aplicar la Distribución de students. Estas condiciones se conocen como el TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL.

Distribución de Muestreo de la Varianza. La estadística, es empleada para inferir la varianza de la población, mediante la distribución de muestreo de la ji-cuadrado, que tiene como formulación. Y la estadística apropiada para inferir las varianzas de dos poblaciones con distribuciones normales se conoce con la Distribución F, con grados de libertad para la primera población y, para la segunda población.

1.3 ESTIMACIÓN PUNTUAL.

Una estimación es puntual cuando se usa un solo valor extraído de la muestra para estimar el parámetro desconocido de la población. Al valor usado se le llama estimador.

• La media de la población se puede estimar puntualmente mediante la media de la muestra:

• La proporción de la población se puede estimar puntualmente mediante la proporción de la muestra:

• La desviación típica de la población se puede estimar puntualmente mediante la desviación típica de la muestra, aunque hay mejores estimadores:

1.4 ESTIMACIÓN DE INTERVALO.

Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor del parámetro estimado con una cierta probabilidad. En la estimación por intervalos se usan los siguientes conceptos:

Intervalo de confianza. El intervalo de confianza es una expresión del tipo [θ1, θ2] ó θ1 ≤ θ ≤ θ2, donde θ es el parámetro a estimar. Este intervalo contiene al parámetro estimado con un determinado nivel de confianza. Pero a veces puede cambiar este intervalo cuando la muestra no garantiza un axioma o un equivalente circunstancial.

Variabilidad del Parámetro. Si no se conoce, puede obtenerse una aproximación en los datos aportados por la literatura científica o en un estudio piloto. También hay métodos para calcular el tamaño de la muestra que prescinde de este aspecto. Habitualmente se usa como medida de esta variabilidad la desviación típica poblacional y se denota σ.

Error de la estimación. Es una medida de su precisión que se corresponde con la amplitud del intervalo de confianza. Cuanta más precisión se desee en la estimación de un parámetro, más estrecho deberá ser el intervalo de confianza y, si se quiere mantener o disminuir el error, más ocurrencias deberán incluirse en la muestra estudiada. En caso de no incluir nuevas observaciones para la muestra, más error se comete al aumentar la precisión. Se suele llamar E, según la fórmula E = (θ2 - θ1)/2.

Límite de Confianza. Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro estimado en la población se sitúe en el intervalo de confianza obtenido. El nivel de confianza se denota por (1-α), aunque habitualmente suele expresarse con un porcentaje ((1-α)•100%). Es habitual tomar como nivel de confianza un 95% o un 99%, que se corresponden con valores α de 0,05 y 0,01 respectivamente.

Valor α. También llamado nivel de significación. Es la probabilidad (en tanto por uno) de fallar en nuestra estimación, esto es, la diferencia entre la certeza (1) y el nivel de confianza (1-α). Por ejemplo, en una estimación con un nivel de confianza del 95%, el valor α es (100-95)/100 = 0,05

Valor crítico. Se representa por Zα/2. Es el valor de la abscisa en una determinada distribución que deja a su derecha un área igual a α/2, siendo 1-α el nivel de confianza. Normalmente los valores críticos están tabulados o pueden calcularse en función de la distribución de la población. Por ejemplo, para una distribución normal, de media 0 y desviación típica 1, el valor crítico para α = 0,1 se calcularía del siguiente modo: se busca en la tabla de la distribución ese valor (o el más aproximado), bajo la columna "Área"; se observa que se corresponde con -1,28. Entonces Zα/2 = 1,64. Si la media o desviación típica de la distribución normal no coinciden con las de la tabla, se puede realizar el cambio de variable t =(X-μ)/σ para su cálculo.

Con estas definiciones, si tras la extracción de una muestra se dice que "3 es una estimación de la media con un margen de error de 0,6 y un nivel de confianza del 99%", podemos interpretar que el verdadero valor de la media se encuentra entre 2,7 y 3,3, con una probabilidad del 99%. Los valores 2,7 y 3,3 se obtienen restando y sumando, respectivamente,

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