Variables Linguisticas

Redacte una síntesis de los conjuntos numéricos con ejemplos de cada uno y luego elabore un mapa conceptual de los mismos.

Los Conjuntos Numéricos son colecciones, agrupaciones o grupos de números con características comunes que los definen como una clase, entre los más comunes están: Los Números Naturales, Los Enteros, Los Racionales, Los Irracionales y Los Reales.

Números Naturales.-

Los números naturales son los que sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se representan con la letra (N).

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

N= (1, 2, 3, 4, 5…) ó N= (1,2,3,…, n+1, n+2,…)

a) El conjunto de los números naturales es ordenable.

b) El conjunto de los números naturales tiene un primer elemento y no tiene un último elemento, es decir, es un conjunto infinito.

c) Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún otro número natural.

d) Todo número natural “n” posee un número anterior, menos el 1. Esto implica que el 1 es el primer número natural:

1+1=2, segundo número natural

2+1= 3, tercer números natural

e) A todo número natural sigue otro número natural. Expresamos el siguiente número natural mediante: n + 1, (para todo n que pertenece al conjunto de los números naturales).

Números Enteros.-

Los números enteros incluyen tanto los números naturales que ya conocemos (0, 1, 2, 3,….), como los números negativos (-1, -2, -3…)

El valor opuesto de un número entero es el mismo número pero con el signo cambiado:

El opuesto de -3 es 3

El opuesto de 5 es -5

El valor absoluto de un número entero es su valor sin considerar el signo. El valor absoluto de un número entero se expresa |3|.

Ejemplo:

|1| = 1

|-1| = 1

Vemos que un número (1) y su negativo (-1) tienen el mismo valor absoluto. Al ordenar los números enteros de menor a mayor primero van lo negativos y luego los positivos:

(...-5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5…)

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS

a) Suma: Si todos son números enteros positivos se suman igual que los números naturales.

(+4) + (+ 5) + (+6) = 15

He puesto los números dentro de paréntesis con signos positivos para recalcar que son enteros positivos, pero esta suma realmente se escribiría:

4 + 5 + 6 = 15

Si todos son números enteros negativos se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo negativo.

(- 5) + (-7) + (- 4) = |5| + |7| + |4| = |16| = -16

Si hay números enteros positivos y negativos:

(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9)

Por un lado sumamos los números positivos:

(+ 4) + (+2) = 6

Por otro lado sumamos los números negativos:

(-5)+ (-9) = |5| + |9| = -14

Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el valor absoluto mayor |14|y como sustraendo el valor absoluto menor |6|.

14 – 6 = 8

El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (-14), luego:

(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9) = -8

b) Resta:

(+4) – (+5) – (-6)

La resta de números enteros se puede tratar como una suma. Para ello sustituimos el signo de la resta (-) por el de la suma (+) pero al hacer esta sustitución tenemos también que cambiar el signo del número que va restando:

(5) es positivo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (-5).

(-6) es negativo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (6).

La operación queda como una suma:

(+ 4) + (- 5) + (+ 6)

Ahora procedemos igual que en la suma.

Por un lado sumamos los números positivos:

(+ 4) + (+ 6) = 10

Por otro lado sumamos los números negativos:

(- 5) = - 5

Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |10|y como sustraendo el de menor valor absoluto |5|.

10 – 5 = 5

El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (10), luego:

4 – (5) – (-6) = 5

c) Sumas y restas:

(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9)

Aquellos números que vayan restando sustituimos el signo de la resta por el de la suma y al número le cambiamos el signo:

(+ 7) + (+ 5) + (-2) + (- 9)

Ahora procedemos igual que en la suma.

Por un lado sumamos los números positivos:

(+ 7) + (+ 5) = 12

Por otro lado sumamos los números negativos:

(- 2) + (- 9) = - 11

Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |12| y como sustraendo el de menor valor absoluto |11|.

12 – 11 = 1

El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (12), luego:

(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9) = 1

Veamos otro ejemplo:

(+ 2) - (- 7) - (+2) - (- 9)

Sustituimos los signos de resta por el de suma pero cambiando el signo del valor que va restando:

(+ 2) + (+ 7) + (-2) + (+ 9)

Sumamos los números positivos:

(+ 2) + (+ 7) + (+ 9) = 18

Sumamos los números negativos:

(- 2)

Restamos los valores absolutos:

|18| - |2| = 16

Como el minuendo es positivo el resultado es también positivo

d) Multiplicación

Para multiplicar números enteros se multiplican sus valores absolutos, como si fueran números naturales, pero a continuación hay que prestar atención al signo del resultado:

Si todos los factores son positivos el resultado es positivo.

Si hay factores negativos hay que distinguir:

Si el número de factores negativos es par el resultado es positivo.

Si el número de factores negativos es impar el resultado es negativo.

Veamos algunos ejemplos:

(+ 3) x (+ 4) = |3| x |4| = 12 (todos los factores son positivos)

(+ 3) x (- 4) = |3| x |4|= -12 (hay un factor negativo: luego el número de factores negativos es impar)

(- 3) x (- 4) = |3| x |4|= 12 (hay dos factores negativos: el número de factores negativos es par, por lo que el resultado es positivo)

Veamos más ejemplos:

(+2) x (+6) x (+5) = |2| x |6| x |5|= 60 (+2) x (+6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60

(+2) x (-6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= 60 (-2) x (-6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60

e) División

En la división se opera igual que en la multiplicación de números enteros: se dividen los valores absolutos, igual que cuando operamos con números naturales, y a continuación hay que ver el signo del resultado:

Si dividendo y divisor tienen el mismo signo (lo dos positivos o los dos negativos) el resultado es positivo.

Si dividendo y divisor tienen distinto signo (uno es positivo y otro es negativo) el resultado es negativo.

Ejemplos:

(+8) ÷ (+4) = |8| x |4|= 2 (-8) ÷ (-4) = |8| x |4|= 2

(+8) ÷ (-4) = |8| x |4|= -2 (-8) ÷ (+4) = |8| x |4|= -2

f) Potencia

La base puede ser un número entero positivo o negativo, pero el exponente siempre tiene que ser positivo.

El valor absoluto de la base se eleva a la potencia, igual que con los números naturales, pero hay que prestar atención al signo:

Si la base es positiva el resultado siempre es positivo.

Si la base es negativa el signo depende del exponente:

Si el exponente es un número par el resultado es positivo

Si el exponente es un número impar el resultado es negativo.

Números Racionales.-

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por (Q).

En matemáticas, se llama Número Racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo,1 es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien Q, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros ( ), y es un subconjunto de los números reales ( ).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión

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