Vectores aleatorios

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19. Sea  (X, Y) un vector aleatorio con distribución uniforme en el círculo unidad: S ={(x, y): x2 + y2 < 1}.

¿Son X e Y incorreladas? ¿Son independientes?

20.  Sea  (X, Y) un vector aleatorio con distribución uniforme en el cuadrado de vértices (1, 1), (-1, 1), (1, -1), (-1, -1). ¿Son X e Y incorreladas? ¿Son independientes?

21.   Sea  (X, Y) un vector aleatorio con distribución uniforme en la región A={(x, y): 0x2}.

¿Son X e Y incorreladas? ¿Son independientes?

22. Supongamos que X  tiene, con probabilidad ½, distribución uniforme sobre el conjunto {1, 2, ..., 8}, y con probabilidad ½ distribución uniforme sobre el intervalo (0, 10). Calcula P(X > 6).

23. Se tiran dos dados y se observan los resultados X e Y. Sea U= min(X,Y), sea V= max(X,Y). Obtén la distribución conjunta de U y V. ¿Son independientes?

24. Supongamos que (X, Y) tiene función de densidad  f(x, y) = 2(x + y) para 0 < x < y < 1. ¿Son X e Y independientes?

25. Supongamos que (X, Y) tiene función de densidad f(x, y) = 6x2y para 0 < x < 1, 0 < y < 1. ¿Son X e Y independientes?

26. Supongamos que (X, Y, Z) tiene distribución uniforme sobre el cubo (0, 1)3.

1. Dar la densidad conjunta de (X, Y, Z)
2. Dar la densidad conjunta de cada par de variables.
3. Dar la densidad de cada variable.
4. ¿Qué relaciones de dependencia hay entre las variables?

27. Supongamos que (X, Y, Z) tiene distribución uniforme sobre {(x, y, z): 0 < x < y < z < 1}.

   Resuelve en este caso las cuestiones 1, 2, 3 y 4 del ejercicio anterior.

1. Supongamos que (X, Y) tiene función de densidad  f(x, y) =  exp[-(x + y)] para x > 0, y > 0. ( X e Y  son independientes, cada una con distribución exponencial de parámetro 1). Calcula la densidad conjunta de (U, V) siendo U = X + 2Y, V = 3X - Y.

1.  Supongamos que (X, Y) tiene función de densidad f(x, y) = 2(x + y) para 0 < x < y < 1. Sea U = X.Y,  sea V = Y/X. Calcula la densidad conjunta de (U, V) y las densidades marginales.

1. Supongamos que (X, Y) tiene función de densidad  f(x, y) =  exp[-(x + y)] para x > 0, y > 0. Comprueba que U= X+Y y V= X/Y son independientes.

1. Sean X e Y v.a.i.i.d. N(0,1). Calcula la distribución de Z= X/Y.

1. Consideremos un vector aleatorio (X, Y)  con función de densidad  f(x, y) = 2(1-x) para 0

1. Sean X1, X2,...,Xn, v.a.i.i.d. con función de densidad f y función de distribución F. Determina la densidad conjunta de Y= min(X1, X2,...,Xn) y Z= max(X1, X2,...,Xn).En el caso particular de que X1, X2,...,Xn sean uniformes en (0,1) calcula la densidad del recorrido muestral R= Z-Y.

Soluciones:

19. Son incorreladas pero no independientes: f(x)= (2/π)(1-x2) ½  si –1

20. Son incorreladas e independientes: Es fácil ver que X e Y son v.a.i.i.d. U(-1, 1).

21. No son incorreladas ni independientes: f(x,y)= 3  en A. Las marginales son g(x)= 3 x2  si 01/2  ) si 0

22. P(X > 6) = ½.2/8 + ½.4/10 =13 / 40.

23. La distribución conjunta y las marginales  se dan en la tabla. U y V son dependientes.

24. g(x) = (1 + 3x)(1 - x) para 0 < x < 1,  h(y) = 3y2 para  0 < y < 1, luego X  e Y son dependientes.

25. g(x) = 3x2 para 0 < x < 1, h(y) = 2y para 0 < y < 1, luego X  e Y son independientes.

26.

1. f(x, y, z) = 1 para 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1 .
2. (X, Y), (X, Z), e (Y, Z) tienen función de densidad común h(u, v) = 1 para 0 < u < 1, 0 < v < 1 .
3. X, Y, y Z tienen función de densidad común g(u) = 1 para 0 < u < 1 .
4. X, Y, Z son mutuamente independientes.

27.

1. f(x, y, z) = 6 para 0 < x < y < z < 1.
2. f(X, Y)(x, y) = 6(1 - y) para 0 < x < y < 1.  f(X, Z)(x, z) = 6(z - x) para 0 < x < z < 1.  f(Y, Z)(y, z) = 6y para 0 < y < z < 1.
3. fX(x) = 3(1 - x)2 para 0 < x < 1. fY(y) = 6y(1 - y) para 0 < y < 1. fZ(z) = 3z2 para 0 < z < 1.
4. Cada par de variables es dependiente.

28. g(u, v) = exp[-(4u + v) / 7] / 7 para u+2v>0, 3u-v>0.

29. g(u, v) = u1/2 v -3/2 (1 + v) para 0 < u < 1 / v, v > 1.

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