Proyecto vector

bajo de un campo vectorial a lo largo de una curva.

Queremos calcular el trabajo que realiza el campo F, para mover un objeto sobre la curva C, desde un punto a, hasta un punto b. Vamos a dividir la curva c en pequeños segmentos, quedando determinados n subintervalos.

Dentro del subintervalo [tk ; tk+1 ] escogemos un punto interior ck (o punto muestra)

Figura 1:

Sobre la curva, el punto Pk es el extremo del vector posición y Pk+1 es el extremo del vector posición . es la longitud del segmento de curva Pk Pk+1

Recordemos que el trabajo está dado por W= Fd si la fuerza está dirigida a lo largo de la línea de movimiento del objeto. Si la fuerza es un vector que apunta en alguna otra dirección debemos considerar W = F. D siendo D el vector desplazamiento.

El trabajo se define como el producto de la componente de la fuerza en la dirección de D, por la distancia recorrida

W =

Figura 2:

Fk es el vector de campo correspondiente a un tiempo t = ck

Tk es el vector tangente unitario a la curva en el punto ck.

El producto escalar Fk . Tk nos da la componente del vector de campo en la dirección del vector tangente en el punto t = ck.

El trabajo realizado por F para mover un objeto a lo largo del segmento de curva Pk Pk+1 es: Wk = Fk . Tk sk

El trabajo realizado a lo largo de la curva (desde a hasta b ) es aproximadamente:

W 

Si consideramos un número mayor de segmentos en la partición, obtendremos una mejor aproximación. Si el número de segmentos tiende a infinito o la norma de la partición (longitud de sk) tiende a cero, las sumas se aproximan a la integral de línea, el trabajo es:

W= Integral de línea sobre la curva c

Interpretaciones de la integral.

a) Una interpretación física: La masa total de un alambre:

Pensemos en un alambre A⊆R^3, del cual conocemos que su densidad lineal viene dada, en cada punto, por la función continua f:A→ R. Supongamos que el alambre A es la imagen de una curva simple γ: [a; b] →R^3, de clase C1. Se quiere calcular la masa total del alambre A, MA. Es obvio que si la densidad del alambre fuera constantemente d0, el problema se resuelve inmediatamente multiplicando d_0 por la longitud del alambre. Así tendríamos:

Pero, ¿qué ocurre si la densidad del alambre es variable? Sigamos el siguiente argumento. Es claro que, para cada partición del intervalo [a; b],P={t_0,t_1,…,t_n }, la imagen de γ/[t_(i-1),t_i ] es el arco de curva comprendido entre γ(t_(i-1) ) y γ(t_i), ∀i=1,2,…,n.

Tomemos una sucesión de particiones {Pn}cuyos diámetros tiendan a cero y sea, para cada n, z_1^n un punto del sub intervalo [t_(i-1)^n,t_i^n]. Naturalmente γ (z_1^n) está en A.

Para n suficientemente grande, se puede considerar que la masa M_i^n, del alambre entre los puntos γ〖(t〗_(i-1)^n) y γ(t_i^n) es constante y por tanto.

Teniendo en cuenta ahora la continuidad de la función ‖γ^' (t)‖, se tiene que

En consecuencia, la masa total del alambre se puede escribir como

por lo que haciendo

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