Vectores aleatorios- Distribución conjunta- Covarianza y Correlación

Universidad Austral        

Estadística II

Práctico No 1

Vectores aleatorios- Distribución conjunta- Covarianza y Correlación

Ejercicio 1 ( 2 de Sección 5.1) : 

Cuando un automóvil es detenido por una patrulla, se revisa el desgaste de cada neumático, y si cada faro delantero está correctamente alineado. Sea X = “número de faros delanteros mal alienados” e  Y = “número de neumáticos desgastados”.

a.-  Si X e Y son independientes con pX(0) = 0.5, pX(1) = 0.3 y pX(2) = 0.2 y pY(0) = 0.6, pY(1) = 0.1, pY(2) = pY(3) = 0.05 y PY(4) = 0.2, presente la función de probabilidad conjunta de (X, Y)  en una tabla.

b.-  Calcule P(X ≤ 1, Y ≤ 1) a partir de la tabla de probabilidad conjunta y verifique que es igual al producto P(X ≤ 1). P(Y ≤ 1).

c.-  ¿Cuál es P( X + Y = 0), o sea la probabilidad de no violaciones?

d.-  Calcule P( X + Y ≤ 1).

Ejercicio 2 ( 3 de Sección 5.1):

Cierto supermercado tiene una caja de salida común y una caja rápida. Denote por X1 el número de clientes que están en espera en la caja común en un momento particular del día, y por X2 el número de clientes que están en espera en la caja rápida al mismo tiempo. Suponga que la función de probabilidad conjunta de (X1, X2) está dada por:

a.- ¿Cuál es P(X1 = 1, X2 = 1), es decir la probabilidad de que haya exactamente un cliente en cada línea de espera?

b.- ¿Cuál es P(X1 = X2), es decir la probabilidad de que los números de clientes de las dos líneas de espera sean iguales?

c.- Denote por A el evento de que haya por lo menos dos clientes más en una línea de espera que en la otra. Exprese A en términos de X1 y X2, y calcule P(A).

d.- ¿Cuál es la probabilidad de que el número total de clientes de las dos líneas de espera sea exactamente cuatro? ¿Y por lo menos 4?

Ejercicio 3 ( 6 de Sección 5.1):

Denote por X el número de VCR (grabadoras) de marca A vendidas durante una semana en particular por cierto comercio. La función de probabilidad puntual de X es:

Sesenta por ciento (60%) de los clientes que compran VCR de marca A también compran una garantía de cobertura amplia.

Denote por Y el número de compradores que compra garantía de cobertura amplia durante esta semana.

a.- ¿Cuál  es    P(X = 4, Y = 2)?  (Sugerencia: Esta  probabilidad  es  igual  al   producto P(Y =2/X = 4).P(X = 4). Ahora considere las cuatro compras como cuatro repeticiones de un experimento Binomial, donde éxito es comprar una garantía de cobertura amplia).

b.- Calcule P(X = Y ).

c.- Determine la función de probabilidad conjunta de (X, Y) y luego la función de probabilidad  marginal de Y.

Ejercicio 4:

El gerente de una compañía de seguros afirma que el 45% de las personas a las que envía a uno de sus promotores adquiere una póliza contra terceros para su automóvil, el 15% adquiere una póliza contra todo riesgo, y el resto no compra. Si el promotor visita 5 personas en un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de que 2 le compren pólizas contra terceros y 1 una póliza contra todo riesgo?

Ejercicio 5:

La longitud de ciertas varillas de metal (en cm) es una v.a con distribución N(5, 0.25). Para hacer un control de calidad se eligen al azar 40 varillas de la producción total. Hallar la probabilidad de que 1 varilla mida menos de 4.0 cm, 13 varillas midan entre 4.0 y 4.8 cm, 18 varillas midan entre 4.8 y 5.5 cm, y el resto midan más de 5.5 cm.

Ejercicio 6 ( 8 de Sección 5.1):

Un almacén tiene en existencia 30 artículos de cierto tipo: 8 de los cuales fueron proporcionados por el proveedor 1, 10 por el proveedor 2 y 12 por el proveedor 3. Se seleccionan al azar 6 artículos que deberán ser enviados a Uruguay. Sean las variables:  X = “número de artículos seleccionados del proveedor 1” e Y = “número de artículos seleccionados del proveedor 2” y sea pXY(x, y) la función de probabilidad conjunta del vector aleatorio (X, Y).

a.- Calcule pXY(3, 2)        b-  Calcule pXY(x, y)

Ejercicio 7 ( 14 de Sección 5.1):

Suponga que tiene diez bombillas, que las duraciones son independientes, y que cada duración tiene distribución exponencial de parámetro λ.

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que las diez bombillas fallen antes del tiempo t?

b.- ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente k de las diez bombillas fallen antes del tiempo t?

c.- Se sabe que 9 de las bombillas tiene una duración que se distribuye exponencialmente con parámetro λ, y la bombilla restante tiene una duración que tiene distribución exponencial de parámetro θ (está hecha por otro fabricante). ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco de las diez bombillas fallen antes del tiempo t?

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