Guia De Vectores

VECTORES

1. Dados los siguientes vectores: ; y .

Determinar:

a)

b)

c)

d)

e) El ángulo que forma el vector con cada uno de los ejes coordenados.

f) El ángulo entre los vectores: y

Solución:

a)

b)

c)

d) =

e) Ángulos que forma con los ejes coordenados

Con el eje X :

Con el eje Y :

Con el eje Z :

f) Angulo entre los vectores

2. Hallar las componentes rectangulares del vector a = 5u, en la dirección 30ª respecto al semieje positivo de las x.

Solución:

Ligamos el vector a, a un sistema de coordenadas cartesianas y lo proyectamos en cada uno de los semieje

de donde

de donde

3. Sumar los vectores a y b de la siguiente figura

Solución:

Se aplica el teorema de Pitágoras

4. Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F1 = 5N al Sur. F2 = 10N 30º al Sur-Este y F3 = 7N 45º al Nor-Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la dirección a donde se mueve.

Solución:

Graficar todas las fuerzas con sus respectivas componentes en el sistema de coordenadas rectangulares y calcular las componentes rectangulares

Ahora se calculan las Fx y Fy , entonces

Luego se calcula la fuerza resultante, aplicando teorema de Pitágoras

Calcular la dirección

Grafica de la solución

5. Un vector M de magnitud 15 unidades, y otro vector N de magnitud 10 unidades se encuentran formando un ángulo de 60º. Encontrar el producto escalar y el producto vectorial. Sol: PE = 75 unidades y PV = 129,9 unidades.

6. Cuatro vectores fuerzas coplanarios están aplicadas a un cuerpo en un punto 0, como lo indica la figura. Hallar gráficamente su resultante.

7. Dados los vectores A (2,4,-2); B (-1,3,2), determina:

a. Expresa dichos vectores en función de sus componentes rectangulares.

b. Determina el vector suma y su módulo.

c. Calcula el vector V= 2A-B y su módulo.

8. Dados los vectores: A (2,-1,2) B (4,0,-2) C (0,0,1)

a) Expresa dichos vectores en sus componentes cartesianas.

b) Determina el vector D= A +1/2 B –C.

c) Efectúa el producto escalar de A y B.

9. Dados los vectores A(3,0,-1) y B(0,-2,0) determina:

d. El producto escalar

e. El producto vectorial.

10. Exprese los vectores A, B, C , D , E y F en términos de los vectores unitarios. En la figura cada cuadrado es una unidad.

A

11. Dados A(5,3,4) y B=6i-j+2k, calcular:

a) su producto escalar

b) el ángulo que forman

c) los cosenos directores del vector B.

CINEMATICA

1. Un cuerpo que se mueve con velocidad constante de 3 m/s, se encuentra situado a 15 m a la derecha del origen cuando comienza a contarse el tiempo. Escribe las ecuaciones que describen su movimiento.

Solución:

Ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo y uniforme:

Valores de y v para este caso:

Ecuaciones particulares para este movimiento:

2. El movimiento de un cuerpo obedece a la ecuación siguiente: Indica el tipo de movimiento del cuerpo y realiza un esquema de su trayectoria.

a) ¿Qué aspecto tendrán las gráficas s/t y v/t?

b) ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por el origen?

Solución:

El cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (M.R.U), ya que la ecuación s/t es del tipo , siendo los valores de las constantes, para este caso: el signo menos se debe a que inicialmente se encuentra situado a la izquierda del origen.

v = 5 m/s el signo positivo nos indica que se mueve hacia la derecha.

a) Graficas

c) Cuando pase por el origen se cumplirá

3. Dado el siguiente esquema

a) Escribir las ecuaciones que describen el movimiento de los puntos considerados.

b) ¿A qué distancia del origen se encuentran?

Solución:

a) Para el punto A:

Luego:

Para el punto B:

Luego:

b) Cuando se encuentren, ambos estarán situados a la misma distancia del origen. Es decir:

Se encuentran al cabo de 10s.

Para saber a que distancia del origen se encuentran, sustituimos el valor obtenido para el tiempo en cualquiera de las ecuaciones, entonces , luego se encuentran a 40 m a la izquierda del origen.

4. Un golfista logra un hoyo en uno en tres segundos después de que la pelota fue golpeada. Si la pelota viajó con una rapidez promedio de 0.8 m/s, ¿Cuan lejos se encontraba el hoyo?

Solución:

5. Dos corredores A y B parten del mismo lugar. A partió 30 segundos antes que B con una velocidad constante de 5 m/s. B sigue la misma trayectoria con una velocidad constante de 6 m/s. ¿A qué distancia del punto de partida el corredor B alcanzará a A?

Solución:

Distancia recorrida por A = Distancia recorrida por B.

El corredor B alcanzará al corredor A a los 900 m del punto de partida.

6. Un vehículo partió del reposo con una aceleración constante y al cabo de 4s alcanzó una rapidez de 20m/s. Suponiendo que el vehículo adquirió un MRUA, calcular su aceleración y la distancia que recorrió durante esos 4s.

Solución:

7. Un pasajero que va a tomar el autobús observa que justo cuando le faltan 30 m para llegar a la parada, el vehículo emprende la marcha con una aceleración de 0,3 m/s2. Justo en ese momento, el peatón va corriendo hacia el autobús con velocidad constante de 6 m/s.

a) Haz un dibujo de la situación indicando donde tomas el punto de referencia.

b) Escribe las ecuaciones del movimiento del pasajero (ecuación de la posición) y del autobús (ecuación de la posición y de la velocidad).

c) ¿Conseguirá alcanzar el pasajero al autobús?. En caso afirmativo, indica cuando y donde. Interpreta el resultado

Solución:

a)

b) Pasajero: Se mueve con velocidad constante de 6 m/s y pasa por el origen cuando arranca el autobús. La ecuación de su movimiento es:

Autobús: Se mueve con un movimiento uniformemente acelerado partiendo del reposo (vo = 0). Al iniciar el movimiento se encuentra a 30 m a la derecha del origen, es decir so =+30m.

La ecuación del movimiento es:

La ecuación de la velocidad es:

c) Conseguirá alcanzar al autobús si se encuentran en la misma posición al mismo tiempo. Vamos a hallar el tiempo que tiene que transcurrir para que el pasajero y el autobús se encuentren en la misma posición, es decir, para que SPASAJERO = SAUTOBÚS.

Es una ecuación completa de segundo grado:

La resolvemos:

Interpretamos el resultado:

Los dos tiempos son positivos luego los dos son posibles.

¿Cómo puede ser esto?. El pasajero alcanza al autobús a los 5,9 s y se sube (si el conductor se da cuenta y para). Si no lo hiciera, adelantaría al autobús pero como éste va aumentando su velocidad con el tiempo, alcanzaría al pasajero a

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