Vibraciones dinamicas

Unidad Académica de Ingeniería Civil, Industria y Construcción

Dinámica      

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• Alumnos:        

                         ADRIAN AULESTIA

MARCOS CALDERON

MATIAS CASTRO

MIGUEL LITUMA

• Catedrático:

ING. JORGE CRESPO.

• Tema:                             

                        VIBRACIONES

• Curso:

CUARTO CICLO “A”

Objetivos

Objetivo general:

• Analizar las vibraciones que posee un cuerpo rígido por medio de ecuaciones de movimiento.

Objetivos específicos:

• Determinar las vibraciones amortiguadas y viscosa amortiguada.
• Aplicar correctamente las formulas y cálculos para su resultado.

VIBRACIONES

Vibración libre no amortiguada

Es el movimiento periódico de un cuerpo o un sistema de cuerpos conectados desplazados de una posición de equilibrio, existen dos tipos de vibración libre y forzada. La vibración libre ocurre cuando el movimiento se mantiene por fuerzas gravitacionales o elásticas, la vibración forzada es provocada por una fuerza externa periódica o intermitente aplicada al sistema, ambas pueden ser amortiguada o no.

Como se dice la fuerza de restauración elástica es [pic 2]

Témenos que  [pic 3]

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La aceleración es proporcional al desplazamiento, se le llama movimiento armónico simple.

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W es una constante que se llama frecuencia natural [pic 6]

También podemos considerar que el bloque este colgado, por lo que el resorte ejerce una fuerza hacia arriba de F=W=mg

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La solución general es [pic 9]

A y B son constantes de integración.

En función del movimiento senoidal simple [pic 10]

Para determinar C que en este caso es la amplitud se determina [pic 11]

Se sabe que en las curvas se completa un ciclo T = [pic 12]

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Frecuencia es el número de ciclos completados por unidad de tiempo.

   La frecuencia se mide en unidades que se llaman Hertz donde 1 ciclo = 2πrad[pic 14]

Métodos de energía

El movimiento armónico simple de un cuerpo, estudiando la sección anterior, se debe solo a fuerzas de restauración gravitacional elásticas que actúan en el cuerpo. Como estas fuerzas son conservadoras, también es posible utilizar a ecuación de conservación de la energía para obtener la frecuencia natura de oscilación o periodo de vibración del cuerpo. Para demostrar cómo se hace esto, considere de nueva cuenta el modelo de bloque y resorte de la figura 1. Cuando el bloque se desplaza una distancia x de la posición de equilibrio, la energía cinética es:    ,  Y la energía potencial es .    Como la energía se conserva es necesario que:[pic 15][pic 16]

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Fig. 1

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La ecuación diferencial que describe el momento acelerado del bloque se obtiene por diferenciación de esta ecuación con respecto al tiempo, es decir

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Como la velocidad no siempre es cero en n sistema sometido a vibración,[pic 22]

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Si la ecuación de conservación de energía se escribe para un sistema de cuerpos conectados, la frecuencia natural o la ecuación de movimiento también se determina mediante diferenciación con respecto al tiempo. No es necesario desmembrar el sistema para mostrar las fuerzas internas porque no realizan trabajo.

Procedimiento

Trace el cuerpo cuando esta desplazado en una pequeña cantidad de su posición de equilibrio y defina la ubicación del cuerpo con respecto a su posición de equilibrio por medio de una coordenada de posición apropiada q.

Formule la conservación de energía del cuerpo, T+V=constante, en función de la coordenada de posición.

En general, la energía cinética debe incluir tanto el movimiento de traslación como el de rotación del cuerpo .[pic 24]

La energía potencial es la suma de las energías gravitacional, elástica potencial del cuerpo V=Vg+Ve, en parigual Vg deberá medirse con respecto a un plano de referencia para el cual q=0.

Derivada con respecto al tiempo

Calcule la derivada con respecto al tiempo de la ecuación de energía con la regla de la cadena del cálculo y factorice los términos comunes. La ecuación diferencial resultante representa la ecuación de movimiento para e sistema, La frecuencia natural de  e obtiene después de reordenar los términos en la forma estándar .[pic 25][pic 26]

Ejemplo

El aro delgado que se muestra en la figura esta sostenido por la clavia en O. Determine el periodo natural de oscilación para pequeñas amplitudes de oscilación. El aro tiene una masa m.

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Si se coloca un plano de referencia horizontal a través del punto O, y luego en la posición desplazada, a energía potencial es:

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La energía total en el sistema es:

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Derivada con respecto al tiempo

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Como no siempre es igual a 0 con los términos entre paréntesis: [pic 33]

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Para un Angulo pequeño  [pic 35][pic 36]

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De modo que:

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Vibracion forzada no amortiguada

Se considera que la vibración forzada no amortiguada es uno de los tipos mas importantes de movimiento vibratorio en el campo de la ingeniería.

Fuerza periódica:

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El bloque y resorte que se muestra en la figura (a) constituyen un modelo conveniente para representar las características vibratorias de un sistema sometido a una fuerza periódica F = F0 sen w0t. Esta fuerza tiene una amplitud de F0 y una frecuencia forzada w0. El diagrama de cuerpo libre del bloque desplazado una distancia x se muestra en la figura (b). al aplicar la ecuación de movimiento tenemos:

 ;        F0 sen w0t -kx = m[pic 40][pic 41]

O bien

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