Aritmética CENEVAL

Notas y apuntes

1. Operaciones aritméticas y leyes de los signos

Suma y resta Suma y resta.

- Números con signos iguales se suman.

- -2-5-7=-14

- El signo de los sumando será el mismo signo en el resultado.

- Números con signos se restan y se conserva el signo del número mayor.

- -8+10= 2

- -10+8=- 2

Multiplicación y división

Multiplicación: Manera abreviada de hacer varias sumas. Los números que se multiplican se llaman factores y al resultado se le conoce como producto.

- (-2)(-3)(-2)(-5) = 60

- (2)(3)(5)(-1)= -30

División: Separar una cantidad en partes iguales. Sus partes son:

Leyes de los signos

- (+)(+) = +

- (+)(-) = -

- (-)(-) = +

- (-)(+) = -

- + / + = +

- + / - = -

- - / - = +

- - / + = -

Raíces y Potencias Potencia

-2 x -3 x -2 x -5= 60

-2 x -3 x 5 x -1= -30

-60 / -15 = 4

10 / -2 = -5

Es la representación de un producto de una base por sí misma, cierto número de veces.

- xn = (x)(x)(x)(x)(x) -> n veces

- donde a = base y n = exponente

- Leyes de los exponentes

Raíces

- x1 = x

- x0 = 1

- x-1 = 1/x

- xmxn = xm+n

- xm/xn = xm-n

- (xm)n = xmn

- (xy)n = xnyn

- (x/y)n = xn/yn

- x-n = 1/xn

- (x/y)-n = (y/x)n

- xm/n = n√xm

= (n√x)m

Radicación: Operación que permite encontrar un número que, multiplicado por sí mismo, tantas veces como lo indica el índice, da como resultado el radicando.

- Radical n√x

- donde n = índice y x = radicando Leyes de los radicales

a. n√an = a

b. m√an = an/m

c. n√a n√b = n√ab

d. n√a m√b = nm√ambn

e. n√a / n√b = n√a/b

f. n√a / m√b = nm√am/bn

- Para simplificar un radical, el radicando de debe de ser descompuesto en sus factores primos y finalmente simplificar usando leyes de los exponentes y radicales.

- Para sumar y restar radicales, éstos deben de tener el mismo índice y el mismo radicando

- an√a + b n√a - cn√a = (a + b - c)n√a

- Para multiplicar radicales con índices iguales, se aplica la siguiente propiedad:

- n√a n√b = n√ab

- Para multiplicar radicales con índices diferentes, se aplica la siguiente propiedad:

- n√a m√b = nm√ambn

- Para dividir radicales con índices iguales, se aplica la siguiente propiedad:

- n√a / n√b = n√a/b

- Para dividir radicales con índices diferentes, se aplica la siguiente propiedad:

- n√a / m√b = nm√am/bn

- Racionalización: Racionalizar es representar una fracción que contenga una raíz en el denominador, en otra fracción equivalente cuyo denominador sea un número racional.

- Racionalización de un monomio: Dada una fracción de la forma c / n√am, su racionalización se efectúa al multiplicar por el término n√an-m/ n√an-m.

- Racionalización de un binomio: Para racionalizar una fracción con denominador binomio se multiplica y divide por su conjugado.

- (a + b)(a - b) = a2 - b2

2. Propiedades y operaciones de los números reales

Propiedades

- Conmutativa: Al sumar o multiplicar varios números, el orden no importa.

- a + b = b + a

- (a)(b) = (b)(a)

- Asociativa: Se pueden sumar o multiplicar dos o más números en cualquier orden, también se puede agrupar los sumandos y los factores en el orden que se desee sin afectar al resultado.

- a + (b + c) = (a + b) + c

- a x (b x c) = (a x b)c

- Distributiva: Multiplicar un número por la suma de otros equivale a multiplicar por los sumandos.

- a(b+c) = ab + ac

Sean a, b y c ∈ R, entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad Adición Multiplicación

Cerradura a + b ∈ R (a) (b) ∈ R

Conmutativa a + b = b + a (a) (b) = (b) (a)

Asociativa a + (b +c) = (a + c) +b a (b c) = c (a b)

Distributiva a(b+c) = ab + ac

Neutro a + 0 = a (a) (1) = a

Inverso a + (-a) = 0 (1/a) = 1

3. Jerarquía de operaciones

Al resolver operaciones es importante respetar el orden dado por la:

Jerarquía de operaciones

Prioridad Operador Significado Ejemplo

1 { [ ( ) ] } Paréntesis (2+3)*5 = 25

2 ^ Exponenciación 4^2 = 16

√ Radicación √9 = 3

3 * Multiplicación 2*4 = 8

/ División 5/2 = 2.5

4 + Suma 3 + 4 = 7

- Resta 8 - 5 = 3

Ejemplo:

- 8/2*7-12*5/30

- 4*7-12*5/30

- 28-12*5/30

- 28-60/30

- 28 - 2

- 26

- √144 + 2 + 6^2

a. 12 + 2 + 36

i. 50

- 8[(2 + 6) * 8 + 2 * 15]^2

b. 8[8 * 8 + 2 * 15]^2

i. 8[64 + 30]^2

1. 8[64 + 30]^2

a. 8[94]^2

i. 8[8836]

1. 70,688

4. Sistema decimal y sus operaciones

Sistema numérico decimal

Este sistema se compone de 10 cifras, además, también este sistema es posicional.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

Existen:

- Números enteros.

- Números no enteros o decimales.

Operaciones básicas con decimales

5. Leyes de los exponentes

Leyes de los exponentes

a. x1 = x

b. x0 = 1

c. x-1 = 1/x

d. xmxn = xm+n

e. xm/xn = xm-n

f. (xm)n = xmn

g. (xy)n = xnyn

h. (x/y)n = xn/yn

i. x-n = 1/xn

j. (x/y)-n = (y/x)n

k. xm/n = n√xm

= (n√x)m

Leyes de los radicales

- n√an = a

- m√an = an/m

- n√a n√b = n√ab

- n√a m√b = nm√ambn

- n√a / n√b = n√a/b

- n√a / m√b = nm√am/bn

Función exponencial

Es de la forma f(x) = ax o y = ax, donde a: constante, x: variable.

- Gráfica y propiedades de f(x) = ax, sea a > 1

- La función es creciente.

- Interseca al eje eje y en 1.

- Es positiva para cualquier valor de x.

- El dominio son todos los números reales, x ∈ (-∞, ∞).

- El rango es el intervalo (0, ∞).

- Su asíntota es el eje x con ecuación y = 0.

- Gráfica y propiedades de f(x) = ax, si 0 < a < 1

- La función es decreciente.

- Interseca al eje Y en el punto (0, 1).

- Es positiva para cualquier valor de x.

- El dominio son todos los números reales, x ∈ (-∞, ∞).

- El rango es el intervalo (0, ∞).

- Su asíntota es el eje x con ecuación y = 0.

Ecuación exponencial

Es una igualdad en la cual la incógnita se encuentra como exponente

- 3x + 1 = 9

- 3x + 1 = 32

- x + 1 = 2

- x = 1

Función logarítmica

Es la función inversa de la función exponencial. Tiene la forma:

- f(x)= loga x o y =loga x Donde:

- a = base, x = argumento y f(x)= exponente

Gráfica y propiedades de la función logarítmica

- La función es creciente.

- Interseca al eje x en el punto (1, 0).

- El dominio es el intervalo (0, +∞).

- El rango son todos los números reales, y ∈ (-∞, ∞).

- Su asíntota es el eje y con ecuación x = 0.

Forma logarítmica Forma exponencial

logax = y ay = x

Propiedades de los logaritmos

- loga(xy) = loga(x) + loga(y)

- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)

- loga(xy) = yloga(x)

- log n√b = 1/n log b

- loga 1 = 0

- loga a = 1

23 = 8

log28 = 3

Ejemplo:

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

- 22x+5y = 4

- 2-x+y = 32

- Se aplica log2 a ambos lados de la ecuación. (loga(xy) = yloga(x))

- 2x+5y = log2 4

- -x+y = log2 32

- 2x+5y = 2

- -x+y = 5

- 2(-x+y = 5)

- -2x +2y = 10

- 2x+5y = 2

- -2x +2y = 10

- 7y = 12

- y = 12/7

- 2x+5(12/7) = 2

- 2x = 2 - 60/7

- x = 2 - 60/7

- x = 1 - 30/7

- x = -23/7

- Nota importante: La base del logaritmo tiene que ser mayor a 1.

6. Múltiplos y divisores: MCM y MCD

Máximo Común divisor (MCD)

El máximo común de dos o más números es el mayor número entero que puede dividir a todos esos números y que al momento de realizar la división el resultado sea 0.

Ejemplo:

- El MCD de 12 y 18 es:

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número entre la lista de los múltiplos de todos

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