Aritmetica

TRIGONOMETRÍA

INDICE

HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA (Resumen)

CAPITULO I

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y LONGITUD DE ARCO

• Angulo trigonométrico

• Sistema de Medición Angular

1. Sistema sexagesimal

2. Sistema centesimal

3. Sistema radial

4. Ángulos coterminales

• Longitud de un arco de circunferencia.

1. Área de un sector circular

2. Angulo girado o barrido por una rueda

3. Poleas y engranajes (aplicaciones)

• Problemas resueltos

• Problemas propuestos

• Claves.

•

CAPITULO II

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO

• Definición de razón trigonométrica

1. Propiedad fundamental

2. Razones trigonométricas para ángulos notables

3. Propiedades de las razones trigonométricas

• Resolución de triángulos rectángulos

1. Área de una región triangular

• Problemas resueltos

• Ángulos verticales

• Ángulos horizontales

• Problemas resueltos

• Problemas propuestos

• Claves

CAPITULO III

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO EN POSICIÓN NORMAL

• Introducción a las desigualdades.

1. recta numérica

2. teorema de números reales

3. intervalos y aplicaciones

4. definición de valor absoluto

o teoremas.

• Problemas resueltos

• Sistema de coordenadas rectangulares

1. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

2. Radio vector de un punto

3. División de un segmento en una razón dada

4. Área de una región triangular

5. ángulos en posición normal

• Definición de las razones trigonométricas

1. Signos de las razones trigonométricas

2. Propiedad de ángulos coterminales.

• Problemas resueltos

• Problemas propuestos

• Claves

CAPITULO IV

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

• Ecuación de la circunferencia

• Circunferencia unitaria (definición)

• Arcos dirigidos en posición normal

• Los números reales en la circunferencia trigonométrica

• Representaciones trigonométricas

1. seno

2. coseno

3. tangente

4. cotangente

5. secante

6. cosecante

7. verso (senoverso)

8. coverso (cosenoverso)

9. exsecante (external)

• Problemas resueltos

• Problemas propuestos

• Claves

CAPITULO V

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

• Identidades trigonométricas fundamentales

1. Identidades reciprocas

2. Identidades por cociente

3. Identidades pitagóricas

• Problemas resueltos

• Identidades de la suma o diferencia de dos arcos

1. Teoremas

• Problemas resueltos (identidades auxiliares)

• Identidades de reducción al primer cuadrante.

1. Para ángulos positivos menores que una vuelta (primer caso)

2. Para ángulos mayores que una vuelta (segundo caso)

3. Para el arco (- ) (tercer caso)

4. Propiedades

• Identidades de arco doble, mitad y triple.

1. Identidades fundamentales de arco doble

2. Identidades de arco mitad

3. Identidades de arco triple

• Problemas resueltos

• Identidades de transformaciones trigonométricas

1. De suma y diferencia de senos y cosenos en producto

2. De producto de senos y/o cosenos a suma o diferencia

3. Propiedad para la sumatoria de senos y cosenos cuyos ángulos están con progresión aritmética

• Problemas resueltos

• Problemas propuestos.

• Claves.

CAPITULO VI

RELACIONES FUNDAMENTALES EN EL TRIANGULO OBLICUANGULO

• Teorema de senos

• Teorema de cosenos

• Teorema de tangentes

• Teorema de proyecciones

• Razones trigonométricas de los semiángulos

• Ejemplos de elementos auxiliares

• Área de una región triangular

• Área de una región cuadrangular

• Problemas resueltos

• Problemas propuestos

• Claves.

BREVE HISTORIA

LA TRIGONOMETRÍA.- La palabra trigonometría significa etimológicamente medida de los triángulos. Actualmente la trigonometría es considerada una disciplina matemática que estudia los diferentes procedimientos para determinar distancias inaccesibles o difíciles de medir de modo directo.

DESARROLLO DE LA TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es una de las disciplinas matemáticas más antiguas. Al igual que otras ramas de la matemática, la trigonometría no es fruto de la inteligencia de un solo hombre, ni aún de una sola civilización, sino es producto de la experiencia y síntesis teórica de diversas sociedades como Egipto, Babilonia y Grecia. Ya en el papiro de Ahmes (1550 a.n.e.) se encuentra alusiones a características de un ángulo análogas a nuestras razones trigonométricas actuales.

APORTES DURANTE EL ESCLAVISMO:

Las condiciones económicas y políticas de la sociedad esclavista permitieron un nuevo impulso del conocimiento científico. El desarrollo agrícola y ganadero generó una mayor disponibilidad de tiempo para la investigación y observación sistemática de la naturaleza. Ante el surgimiento de la propiedad privada y del Estado Esclavista se hizo necesario optimizar los mecanismos para delimitar la propiedad territorial y controlar tanto la producción como los impuestos que debía pagar el pueblo. Es así que surge la necesidad de un mayor desarrollo del conocimiento matemático y, en particular, de la trigonometría.

IV milenio a.n.e.

En la Mesopotamia antigua los primeros signos de matemática aparecieron como respuesta a necesidades prácticas, como contar cabezas de ganado, sacos de cereales, calcular distancias, etc.

En la numeración Caldeo asiria aparece completamente desarrollado el sistema sexagesimal cuyo origen se basa en las observaciones astronómicas.

Tres instrumentos permitieron a los caldeos elaborar su astronomía: la clepsidra (era un reloj de agua), el gnomon (instrumento que representaba al cuadrante solar, iba previsto de una varilla que proyectaba su sombra sobre éste según la posición del sol, el cual marcaba las horas del día, los solsticios y los equinoccios) y el polos (era una semiesfera que representaba, invertida, la bóveda celeste. Sobre aquello, en el centro, se colgaba una bola, y la sombra que proyectaba en la semiesfera mostraba, de forma invertida, el movimiento solar en los cielos).

Los babilonios

La mayor atención que tenían los hombres de ciencia en Babilonia era hacia la astronomía, ciencia que les daba datos cada vez más precisos para un conocimiento de la astrología, a la cual le daban importancia porque pensaban equivocadamente en la influencia de los astros en la vida del hombre. Es realmente digno de admirar el desarrollo que alcanzó su astronomía, desarrollo logrado a partir de un importante conocimiento trigonométrico.

Los Egipcios

El problema 56 del papiro Rhind, presenta un interés especial porque contiene lo que podríamos llamar uno de los rudimentos de trigonometría y de una teoría de triángulos semejantes. En la construcción de la pirámides, un problema esencial era el de mantener una pendiente uniforme en las cuatro caras, por ende puede haber sido este problema el que llevó a los egipcios a introducir un concepto equivalente al de la cotangente de un ángulo. Una relación matemática que contiene en el papiro es la razón del perímetro de la base a la altura de la pirámide de Keops como 44/7 (ciertamente muy próxima).

Los griegos.- Tiene muchos pensadores:

Eratóstenes (275-194 a.n.e.)

Matemático griego, educado en Atenas y Alejandría, llamado también el medidor de la tierra, ya que fue el primero en hacer mediciones de la circunferencia de nuestro planeta.

Hiparco de Nicea (aprox. 190 a 125 a.n.e.)

La trigonometría aparece como necesidad de la astronomía, a fin de resolver problemas de la esfera celeste. Hiparco de Nicea es considerado la autoridad máxima entre los astrónomos griegos y el astrónomo más grande de la antigüedad( tuvo un observatorio astronómico en Rodas entre los años 128 – 127 a.n.e.). Hiparco fue el primero en determinar con precisión el aparecer y el ocaso de varias estrellas, usando para ello una tabla de cuerdas por él calculada. El resultado fue una obra de 12 volúmenes, donde se tomaba como base la división del círculo en 360°, conocían la formula de hoy: sen2a + cos2 = 1

Menéalo de Alejandría (100 a.n.e.)

Presenta un trabajo de 6 libros como Geometría Esférica, demuestra teoremas sobre los triángulos esféricos, tiene un teorema que lleva su propio nombre.

Claudio Ptolomeo (180 d.n.e.)

Hizo progresar la trigonometría y la enriquece con nuevas fórmulas no conocidas por Hiparco con su obra Almagesto = sintaxis matemática donde describe el funcionamiento del sistema solar, señalando que la tierra era el centro del sistema solar, es decir defendía la teoría egocéntrica, plantea la suma y diferencia de

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