Caso práctico I: Aplicación de la ecuación de Bernoulli

Caso práctico I: Aplicación de la ecuación de Bernoulli

Descripción de la actividad

En un depósito cilíndrico de altura  y diámetro , se realiza un orificio a una profundidad  (medida desde la superficie de líquido del depósito). El agua abandonará el depósito a través del orificio, describirá un tiro horizontal y alcanzará una distancia  (medida desde el borde del depósito). Tendrás que:[pic 5][pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9][pic 10]

[pic 11][pic 12]

[pic 13]

• Calcular el valor de  para obtener el máximo valor de .[pic 14][pic 15]

Partiendo de la ecuación de Bernoulli y tomado como referencia el nivel del agua superior:

 o dividiendo por [pic 16][pic 17]

[pic 18]

Suponiendo que la parte alta del depósito y el flujo de salida están a presión atmosférica , que la velocidad a la que desciende el agua en la parte superior del depósito v1 es mucho menor que la velocidad de salida del agua por el orificio v2 y el diámetro del depósito con respecto al diámetro del orificio es mucho mayor también. Por otro lado  Puesto que la referencia esta en la parte superior.[pic 19][pic 20]

[pic 21]

Nos queda la siguiente ecuación:

 despejado [pic 22][pic 23]

que también se llama teorema de Torricelli

Ahora partiendo de las ecuaciones del tiro parabólico horizontal

Eje x: [pic 24]

Eje y: [pic 25]

[pic 26]

 [pic 27][pic 28]

Por lo tanto, la distancia x será:

 * =2[pic 29][pic 30][pic 31]

Como nos piden el valor de h que hace maxima esa distancia hay que calcular la derivada primera con respecto a h e igualar a cero.

[pic 32]

        [pic 33]

 [pic 34]

[pic 35]

Sustituyendo:

[pic 36]

Por tanto, la mayor distancia se obtiene a la altura , siendo este valor de H, es decir que el alcance máximo es de H[pic 37]

• Si se realizara un segundo orificio con una profundad , con la que el chorro de agua alcanzase una distancia , calcular la profundidad, , a la que debería colocarse un tercer orificio para que la distancia que alcanzase el agua fuera también .[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

En este caso se hacen dos taladros uno a una distancia h2 y otro a una distancia h3 de la superficie. Las ecuaciones que indican la distancia de cada uno de ellos sería las que ya se han deducido en el apartado anterior:

[pic 42]

[pic 43]

Igualando para mismo alcance x

[pic 44]

        [pic 45][pic 46]

Solución 1: [pic 47]

Solución 2: [pic 48]

La solución valida es la 1:

En la que  esta a la misma distancia desde el fondo del depósito que la distancia a la que está de la superficie tal como se indica en el dibujo. [pic 49][pic 50]

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