Matemáticas fundamentales. Los numeros reales

UNIVERSIDAD DEL VALLE[pic 1]

FACULTAD DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA

ESCUELA DE EDUCACIÓN EN CIENCIAS, TECNOLOGÍAS Y CULTURAS

CURSO: MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES

Profesor: Jimmy Uribe

NÚMEROS REALES

Inicialmente la teoría de números se concentraba en el estudio de los números naturales, sin embargo, las incorporaciones de los nuevos conjuntos numéricos fueron respondiendo a necesidades específicas. Tal es el caso de introducir los números naturales para satisfacer la necesidad de contar y ordenar; los números negativos para poder representar deudas, solución a problemas de la diferencia entre dos números naturales, cuyo minuendo es menor que el sustraendo, y  temperaturas bajo cero; los números racionales, incorporados para representar conceptos como “media hectárea”, “medio litro”, “tres cuartos del terreno”, incluso  a la necesidad de extender un sistema numérico en el que razones como  tuviera sentido, ya que la división no siempre es posible. De esta manera, la incorporación de los números irracionales surge para responder a la medida de ciertas magnitudes, como la magnitud de la diagonal de un cuadrado y que, al conformar el conjunto de los números reales, completa a los racionales y hacen de este conjunto un cuerpo completo, dotado de propiedades algebraicas de adición y multiplicación y relaciones de orden, ante su representación en la recta numérica.[pic 2]

Las propiedades básicas del álgebra en el sistema de los números reales permiten probar hechos matemáticos y resolver ecuaciones. Estas propiedades se satisfacen para cualesquier  y  dentro de los números reales.[pic 3][pic 4]

Propiedades de los números reales

La estructura de los números reales  satisface ciertas propiedades o axiomas:[pic 5]

Ejemplo 1:

1. Si  con  en los reales, el inverso aditivo es  e inverso multiplicativo o recíproco [pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]
2. El inverso multiplicativo de  es , si [pic 25][pic 26][pic 27]
3. El inverso aditivo de  es , si [pic 28][pic 29][pic 30]

P5: Propiedad distributiva es la que combina las operaciones de adición y multiplicación.

1.  [pic 31][pic 32]
2. [pic 33]

Ejercicio 1:

Empleando las propiedades básicas de los números reales, pruebe que la propiedad distributiva se puede extender empleando tres números en la suma.

[pic 34]

Observación:

Para los números reales  y [pic 35][pic 36]

1. La diferencia   se define como:[pic 37]

[pic 38]

1. El cociente  con , se define como:[pic 39][pic 40]

[pic 41]

Propiedades derivadas de las propiedades básicas de los números reales

Prueba de algunas propiedades derivadas de los números reales

1. P7: , [pic 66][pic 67]

2. P8: , si , entonces, [pic 80][pic 81][pic 82]

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