Matematicas,relacionados con el conjunto de los números reales.

CONTENIDOS

Introducción  \3

1.1 Números reales  \24

1.1.1 Números racionales   \24

1.1.1.1 Operaciones entre números racionales   \27

1.1.2 Números irracionales   \39

1.1.3 Los conjuntos y los números reales   \40

1.1.3.1 Operaciones entre números reales  \42

1.1.3.2 Potencias de números reales    \43

1.2 Desigualdades      \50

1.2.1 Propiedades de las desigualdades   \51

Recapitulación    \53

Actividades de confirmación de conocimientos  \56

Autoevaluación  \64

Actividades de generalización  \72

UNIDAD 1

PROPÓSITO

En la presente unidad se hará un recordatorio de los principales conceptos relacionados con el conjunto de los números reales.[pic 1]

¿Qué aprenderás?

A resolver:

Ecuaciones y desigualdades lineales y cuadráticas con una incógnita.

Ecuaciones algebraicas donde intervienen raíces cuadradas.

Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas.

Ecuaciones trigonométricas.

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

[pic 2]

¿Cómo lo lograrás?

Se te proporcionará una serie de situaciones que involucran el planteamiento y resolución de ecuaciones y desigualdades.

[pic 3]

¿Para qué te va a servir?

Lo anterior va a servir para construir las bases de la rama de las matemáticas conocida como cálculo diferencial, rama ésta que se ocupa del estudio de los fenómenos relacionados con los procesos de cambio o variación.

1.1 Números reales

Mucho antes de que los números negativos fueran aceptados como números, ya las personas habían trabajado con elementos que hoy en día conocemos con el nombre de números racionales, pero que en la vida diaria, a veces se les llama números fraccionarios o quebrados. Así los números: un medio, un tercio, etcétera, se sabe fueron utilizados por culturas antiguas como la griega, en la cual servían para indicar que se estaba hablando de una parte de la unidad. Hoy en día, los números racionales se definen como la razón que resulta al dividir un número entero entre otro número entero diferente de cero.

1.1.1 Números racionales

A diferencia de los números naturales y de los números enteros, los números racionales no se puede representar escribiendo solo una parte de ellos, pues éstos no cumplen con la propiedad de consecutividad, es decir, dado un número racional no existe otro que sea el que sigue, ya que, como veremos más adelante, entre dos números racionales cualesquiera existe una infinidad de números de este mismo tipo. Una vez que la razón de dos números enteros fue aceptada como número racional, se observó que las particularidades de estos números se podían resumir en la expresión:

[pic 4] Donde las literales p y q, se utilizan para representar números enteros, con la condición de que [pic 5]. Es decir, debe tenerse en cuenta que la división entre cero está descartada.

Algunos ejemplos de números racionales son:

[pic 6]

Si se realizan las divisiones señaladas en los elementos [pic 7], se obtendrán los números 3, -5 y 0, respectivamente, de donde podemos deducir que el conjunto de los números racionales contiene a los números enteros, los cuales a su vez contienen a los números naturales y éstos a los dígitos que forman la base de nuestro sistema decimal de numeración.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

1. En los espacios señalados escribe, al menos, ocho números racionales que estén comprendidos, entre el 0 y el 1.

0, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, 1

2. En los espacios señalados escribe, al menos, ocho números racionales que estén comprendidos, entre el –1 y el 0.

-1, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, 0

Se dijo que un número racional es todo número de la forma [pic 8], donde p y q son números enteros, con q ≠ 0. Sin embargo hay que tener presente que éstos pueden ser representados de otras formas.

Consideremos los siguientes números racionales (razón de dos enteros):

[pic 9], [pic 10], [pic 11], [pic 12], -[pic 13], [pic 14]...

Otra forma de representar el primero y tercero de los números enlistados es:

[pic 15]= [pic 16] y [pic 17]=[pic 18], respectivamente.

A esta representación se le da el nombre de mixta.

Los primeros tres números racionales enlistados también pueden ser escritos en la forma:

[pic 19]= - 2.5, [pic 20] = 0.75   y   [pic 21], respectivamente.

Donde la línea que aparece en la parte superior de los dígitos 5, 7, 1, 4, 2 y 8, significa que éstos se repiten en ese orden de manera periódica y sin finalizar. A este tipo de representación se le da el nombre de decimal.

Algunos ejemplos que presentan la equivalencia entre diferentes representaciones de los números racionales son:

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

0.[pic 25] = [pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

1.1.1.1 Operaciones entre números racionales

Tanto en la primaria, como en la secundaria tuviste la oportunidad de realizar operaciones con números racionales. A continuación se presenta un conjunto de ejemplos que muestran situaciones en las que intervienen elementos del conjunto de los números racionales y las operaciones básicas entre ellos.

Ejemplo 1.1 Si un joven tenía una estatura de uno punto setenta y cinco metros y creció  [pic 38] de metro, ¿cuál es su nueva estatura?

Respuesta

1.75 + [pic 39] = [pic 40]

[pic 41]

 [pic 42]

1.75 + [pic 43] = [pic 44]

Lo que significa que su nueva estatura es de 1.80 metros.

Ejemplo 1.2 Una tela de tres metros de largo encogió [pic 45] de metro, ¿cuál es su longitud actual?

Respuesta

3 -[pic 46]=[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

3 -[pic 50]=[pic 51]

Lo que significa que su longitud actual es de 2.75 metros.

Ejemplo 1.3 El kilogramo de nescafé costaba 174.50 pesos y sufrió un incremento de 20.45 pesos, ¿cuál es ahora el costo del nescafé?

Respuesta

174.50 + 20.45 = 194.95

Lo que significa que el costo actual del nescafé es de 194.95 pesos.

Ejemplo 1.4 Una persona tenía 538.50 pesos en el banco y al retirarlos le cobraron 35.45 pesos por el manejo de su cuenta, ¿cuánto dinero le entregaron?

Respuesta

538.50 - 35.45 = 503.45

Lo que significa que le entregaron solamente 503.05 pesos.

Ejemplo 1.5 Una barra de aluminio de 2.3 metros de largo se sometió a una temperatura muy baja y su longitud se redujo 0.15 centímetros. ¿Cuál es la nueva longitud de la barra de aluminio?

Respuesta

2.3 m - 0.15 cm = 2.3 m – 0.0015 m

2.3 m – 0.0015 m = 2.2985 m

Lo que significa que su nueva longitud es de 2.2985 metros.

Ejemplo 1.6 Fuera del agua la presión que recibe una persona es de una atmósfera y al sumergirse, hasta el fondo, en el agua de una piscina recibe una presión de 1.16 atmósferas, ¿cuál es la presión que ejerce el agua de la piscina sobre la persona?

Respuesta

1.16 – 1.00 = 0.16.

Lo que significa que el agua de la piscina ejerce una presión de 0.16 atmósferas sobre la persona, cuando dicha persona se encuentra en el fondo de la piscina.

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