Matemáticas básicas. Números reales
Enviado por irina meza • 18 de Abril de 2021 • Apuntes • 4.952 Palabras (20 Páginas) • 116 Visitas
Capítulo 1
Números reales
- Introducción a la teoría de conjuntos
El concepto de conjunto es de gran importancia en matemáticas, es donde se fundamentan muchas de sus teorías. Daremos una idea intuitiva de lo que significa conjunto.
- Conjuntos y sus propiedades
Definición 1.1.1 Un conjunto lo podemos asociar a la colección de objetos de cualquier tipo. Por ejemplo: un carro, una casa, un libro y un lápiz es una colección de objetos que podemos llamar conjunto.
A los conjuntos los representaremos con letra mayúsculas. En este sentido, el conjunto que acabamos de formar lo podemos representar como
[pic 1]
A los objetos carro, casa, libro y lápiz los llamaremos elementos del conjunto C.
Entre los conjuntos y sus elementos se establece una relación que es denotada como . Esta relación nos dirá si el elemento pertenece o no a un conjunto.[pic 3][pic 2]
Ejemplo 1
[pic 4]
Esto se, el lápiz ‘’pertenece’’ al conjunto C y vaso ‘’no pertenece’’ a C.[pic 5]
Ejemplo 2
- El conjunto de las consonantes
[pic 6]
- El conjunto de los números pares positivos y menores que 10
[pic 7]
- Formas de expresar un conjunto
Hay diferentes formas en las que podemos expresar un conjunto
Por extensión
Se escriben los elementos del conjunto uno a uno y separados por comas.[pic 8]
Ejemplo 3
El conjunto de los números pares positivos y menores que 10
[pic 9]
Por comprensión
Se trata de describir las características de los elementos del conjunto sin tener que escribirlos uno a uno.[pic 10]
Ejemplo 4
El conjunto de los números pares positivos y menores que 10
[pic 11]
Diagramas de Venn
Son representaciones gráficas de un conjunto o la relación que existe entre ellos mediante círculos.[pic 12]
Ejemplo 5
Sea A el conjunto de los números pares positivos y menores que 10[pic 13]
A
2 4
6 8
Fig 1.1 Representación de un conjunto por diagramas de Venn.
Definición 1.1.2 (Subconjunto) Diremos que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B y será representado como , si todos los elementos de A también son elementos de B.[pic 15][pic 14]
Otra forma en la que podemos ver la definición anterior es Notaciones lógicas [pic 17][pic 18][pic 16]
Ejemplo 6
Si
[pic 19]
Podemos decir que ya que todos los elementos de P también pertenecen a M.[pic 20]
Observación: Llamaremos conjunto vacío aquel conjunto que no tiene elementos y lo denotaremos como [pic 21]
- Operaciones con conjuntos
A continuación, enunciaremos las operaciones entre conjuntos, también llamada álgebra de conjuntos, las cuales serán de mucha utilidad a la hora de resolver problemas aplicados a conjuntos.
Definición 1.1.3 (Unión) La unión de dos conjuntos A y B es la reunión de todos los elementos de A como de B y será representado como .[pic 22]
[pic 23]
Cabe anotar que esta definición se aplica para más de dos conjuntos.[pic 24]
Ejemplo 7
Sean
,[pic 25]
Entonces será el conjunto[pic 26]
[pic 27]
[pic 28][pic 29]
[pic 30]
A 2 -1 B
4 1 0
7 3
Fig 1.2 Unión entre A y B
Definición 1.1.4 Intersección) La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto conformado por los elementos que comparten los conjuntos A y B. Este conjunto será representado como .[pic 31]
[pic 32]
Ejemplo 8.[pic 33]
Sean [pic 34]
Entonces será el conjunto [pic 37][pic 38][pic 35][pic 36]
[pic 39]
A 2 -1 B
4 1 0
7 3
Fig 1.3 Intersección de A y B
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