APLICACIONES A LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Muchos de los aspectos de la vida diaria como los de las ciencias y las ingenierías tienen que ver con el cambio de las cosas y, en especial, con el cambio de una variable con relación a otras. En el estudio del Cálculo Diferencial es primordial el concepto de variación o cambio continuo. En este sentido, la aplicación del concepto de derivada es interdisciplinaria, puesto que hay una gran cantidad de ámbitos en que se puede aplicar la razón de cambio instantánea de una variable con respecto a otra. Por ejemplo, la velocidad de un automóvil representa un cambio de su posición con respecto al tiempo.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto se define como sigue:

,

Si este límite existe, de lo contrario, , la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática. Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existende derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite.

POSIBLES USOS DE LA DERIVADA

• La primera derivada se aplica para hallar la pendiente de una tangente, señalar los intervalos de crecimiento o decrecimiento, determinar los extremos de una función.

• La segunda derivada para hallar el punto de inflexión y decidir si el caso es máximo o mínimo local. También si la concavidad es hacia arriba o hacia abajo.

• La tercera derivada interviene en la torsión.

• Cualquier derivada interviene en el desarrollo de una función en una serie de potencias en un dominio adecuado, todas ellas en otras cosas más.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).

Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.

Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:

1. Por la definición en un entorno del punto.

2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:

a. f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)).

b. f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)).

GRAFICAS

3. Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).

Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.

Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.

INTERPRETACIÓN GEOMETRICA

Al ser f´(a) = 0, (a,f(a)) es de tangente horizontal.

a. Si f´´(a) > 0, en un entorno de a es f´´(x) > 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos aumentan.

b. Si f´´(a) < 0, en un entorno de a es f´´(x) < 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos disminuyen.

Recordemos que los máximos y mínimos absolutos se encuentran entre los extremos relativos y aquellos en los que la función no es derivable o, ni siquiera, continua.

CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD

Una función es convexa si la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en cada punto, es decir:

f(x) > f(a) + f´(a) • (x - a)

Una función es cóncava si la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en cada punto, es decir:

f(x) < f(a) + f´(a) • (x - a)

Criterios de concavidad o convexidad:

1. Por la derivada primera:

a. Si una función es convexa las pendientes de las tangentes aumentan (f´ creciente).

b. Si una función es cóncava las pendientes de las tangentes disminuyen (f´ decreciente).

2. Por la derivada segunda:

a. Si f es convexa entonces f´ creciente, por lo tanto f´´ > 0

b. Si f es cóncava entonces f´ decreciente, por lo tanto f´´ < 0

PUNTO DE INFLEXIÓN

Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa.

Si a es un punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0

INTERPRETACIÓN GRÁFICA

La recta tangente en un punto de inflexión atraviesa a la gráfica de la función.

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA ECONOMIA

Las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total.

En ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en el contexto de las funciones multivariadas. Mediante las derivadas parciales, es decir estimar las razones de cambio de una variable independiente de una f(x,y) son las derivadas parciales respecto a x o y, manteniendo la(s) otra(s) fija(s). En consecuencia se pueden aplicar las técnicas especiales como derivadas direccionales, gradientes, diferenciales, etc. NO hay que olvidar que se requiere con frecuencia

...