Articulo en español

Presentado por:    Eliecer Julio Córdoba - 20151145032

Asignatura: Matemáticas del Movimiento 2

Profesor: Alberto Forero

Taller

1. Un vehículo ubicado en el punto D se mueve sobre una pista circular de radio 3km a una velocidad angular constante de 0,5 . El vehículo está conectado a una varilla de longitud 6km, de tal forma que en el otro extremo se encuentra un objeto en el punto B que se mueve sobre la línea CA.[pic 1]

Comenzamos haciendo la representación gráfica del movimiento del carro haciendo uso de los datos que nos da el enunciado:

[pic 2]

Ahora bien, teniendo la anterior representación, podemos comenzar a calcular los datos que no sabemos, por ejemplo la distancia de EB, esta distancia la podemos calcular a través del teorema de Pitágoras, ya que sabemos la longitud de dos lados del triángulo que se forma, pero primero que todo, debemos decir la longitud de cada uno de los lados del triángulo:

 = [pic 3][pic 4]

[pic 5]

Al hacer la conversión de radianes a grados, obtenemos que 0.5 radianes son 28,65 grados, es decir que el vehículo se mueve a una velocidad de 28,65° por segundo.

Sabiendo los anteriores datos, ahora si podemos calcular la distancia entre EB teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras:

[pic 6]

[pic 7]

Dicho lo anterior, también podemos calcular el valor de x teniendo en cuenta que ya sabemos la longitud de AC y el coseno del triángulo DAE, como vemos en la anterior gráfica:

 [pic 8]

Como ya sabemos el valor de  y la longitud del segmento EB, si sumamos los dos valores anteriores, encontraremos finalmente la longitud de BC, así como lo vemos a continuación:[pic 9]

[pic 10]

1. Encuentre un modelo matemático que describa la posición del objeto respecto al punto C.

Ahora bien, la función de posición del objeto, es decir el punto D respecto al C, es la siguiente:

[pic 11]

1. Describa el comportamiento de la velocidad del objeto para cualquier t > 0.
2. Que variaciones sufre la velocidad del objeto si el vehículo no se mueve a velocidad constante?

Para saber el comportamiento de velocidad y las variaciones de velocidad que sufre la anterior función en cualquier instante de tiempo, debemos derivarla, pero aún no sé qué procedimiento de derivación seguir.

2) Para cada una de las funciones, hacer uso de alguno de los siguientes procedimientos para calcular [pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Evaluamos el límite cuando h tiende a 0:

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Ahora bien, evaluamos el límite cuando h tiende a 0:

[pic 29]

[pic 30]

Ahora vamos a derivar la siguiente función para todas las , [pic 31][pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

Ahora bien, evaluamos el límite cuando h tiende a 0:

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

Comenzamos a derivar la anterior función por definición, empleando la siguiente propiedad de las funciones exponenciales:  con a, b números reales[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

Ahora bien, sabemos que cuando empleando el mismo razonamiento también se puede afirmar que , por lo tanto el límite va quedar como: [pic 46][pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

Ahora vamos a derivar la siguiente función para todas las [pic 50]

[pic 51]

Según esta propiedad de las funciones exponenciales:  con a, b números reales[pic 52][pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

Ahora bien, sabemos que cuando también se puede afirmar que , por lo tanto el límite va quedar como: [pic 57][pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

En la expresión anterior, tenemos una suma de ángulos, y por identidades trigonométricas quedaría así:

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

Agrupamos términos:

[pic 67]

[pic 68]

Vamos a separar la suma de las fracciones:

[pic 69]

Ahora bien, vamos a separar los límites de la suma de funciones

[pic 70]

Vemos anteriormente que como  no tiene la variable , entonces se va comportar como una constante y por propiedades de los límites sale a la izquierda del límite, quedaría de la siguiente forma:[pic 71][pic 72]

[pic 73]

Ahora bien, debemos tener en cuenta las siguientes tres propiedades de los límites:

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

Para aplicar la propiedad de límite de seno, el denominador deber ser igual al ángulo, debemos convertir el denominador de la misma forma como se encuentra el ángulo:

[pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

Ahora bien, para evaluar la anterior función en el instante [pic 80]

[pic 81]

También quise derivar la función a través de límites de la siguiente forma, pero solo llego a una expresión donde no sé qué más hacer:

...