CONTROL OPTIMO EN TIEMPO CONTINUO

CONTROL OPTIMO EN TIEMPO CONTINUO

El problema básico de control optimo tiempo continuo y el resultado fundamental para obtener la solución óptima del problema; El principio del máximo de Pontryagin publicado por el ruso en 1958, considerando algunas formulaciones del problema, donde el principio del máximo tiene cierta dificultad a la hora de resolver problemas concretos al tratarse de un sistema de ecuaciones diferenciales con condición inicial más un sistema de ecuaciones diferenciales con condiciones finales.

• Planteamiento del problema de control optimo en el tiempo continuo: Considerado un sistema dinámico formulado con un tiempo continuo en un horizonte temporal dado [to,t1] cuya situación inicial viene dada por un vector n-dimensional xo y que evoluciona en el tiempo. Dicha evolución depende de ciertas variables, llamadas variables de control que permite influir en el sistema. Sea u(t) el vector de m-dimensional  de variables de control en el instante t , Representados por x(t) para cada t € [to,t1] el vector de n-dimensional  llamado el vector variables de estado que nos indica la situación en el instante t.

Ecuación de estado[pic 1]

Restricciones, por lo tanto no consideramos en las variables de estado definiendo como control admisible como aquella trayectoria de control u(t) t € [to.t1] que es continua a trozos por lo que tenemos que decir que es continua en todos los puntos excepto quizá en un número finito cumpliendo la condición de que u (t) € ᾨ ᶜ R para cada t € [to,t1]

El conjunto  ᾨ (t) representa restricciones físicas del valor de las variables de control en el tiempo t. Se supone que el vector de varias variables de estado es una función continua en [to,t1] y derivada continua de trozos verificando que :[pic 2]

El funcional objetivo[pic 3]

Da una medida continua del comportamiento del sistema en el tiempo, consideradas funcionales del tipo

[pic 4]

• Control optimo: Un control optimo es definido como función admisible que maximiza el funcional objetivo, dado con condición inicial xo y que evoluciona en el tiempo de acuerdo a la ecuación del estado x= f (x,u,t) se trata de encontrar el vector de control admisible que haga que el funcional objetivo alcance el valor máximo.

[pic 5]

EL PRINCIPIO DEL MÁXIMO DE PONTRYAGIN

El principio del máximo da condiciones necesarias que debe cumplir el control optimo del problema que estamos considerando.

Se trata por tanto de resolver el problema:

[pic 6]

[pic 7]

En donde hemos utilizado notación vectorial, siendo                           . Utilizando notación escalar, podemos expresar el problema anterior de la siguiente forma:

[pic 8]

[pic 9]

CONDICIONES DE TRANSVERSALIDAD

Existen tres variantes para este problema general en donde solo se dan las condiciones iniciales mientras que las terminales pueden tomar algunos de los siguientes casos:

1. Punto terminal fijo: Aquí la variable de estado esta forzada a terminar en un valor específico al fin del horizonte de planeación

[pic 10]

1. Línea terminal Horizontal: Aquí la variable de estado esta forzada a terminar en un valor específico pero el fin del horizonte de planeación es libre de variar arbitrariamente

[pic 11]

1. Superficie Terminal: Aquí la variable de estado como el tiempo terminal son libres de variar simultáneamente pero no de una manera libre sino que están ligados por una relación funcional que las restringe.

[pic 12]

De acuerdo al problema en cuestión para la optimalidad del mismo deben verificarse ciertas condiciones acerca de cómo las variables del problema “atraviesan” el estado final del sistema. En estos casos la condición de transversalidad planteada anteriormente debe ser sustituida por:[pic 13]

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