Curso Propedéutico de matemática

Curso Propedéutico de matemática. Tarea I

Operaciones fundamentales en los conjuntos de los números naturales.

• Cuando el hombre tuvo la necesidad de ordenar y enlazar conjuntos se crearon los números, que no son otra cosa que la representación de la cantidad de determinado conjunto.

Para poder negociar y ordenar elementos, el hombre tuvo la

necesidad de representar las cantidades de lo que poseía y así saber

de qué disponía exactamente. De ahí surgió la idea de crear símbolos

que representaran esas cantidades.

Por ejemplo, si alguien sabía la cantidad de gallinas que tenía en su

finca, podría establecer del mismo modo la cantidad de días que podría

limentar a su familia.

Es por esta necesidad que el hombre crea lo que hoy conocemos como números naturales. Ellos son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más elementales en el tratamiento de las cantidades.

En pocas palabras, los números naturales son todos aquellos que nos sirven para contar, que van desde el 0 hasta el infinito, pasando por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, etc.

a) Concepto y ejemplos de Números Naturales.

El concepto de números hace referencia a los signos o conjunto de signos que permiten expresar una cantidad con relación a su unidad. Existen distintos grupos de números, como los números enteros, los números reales y otros.

Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del primer conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos. Uno (1), dos (2), cinco (5) y nueve (9), por ejemplo, son números naturales.

Existe una controversia respecto a considerar al cero (0) como un número natural. Por lo general, la Teoría de Conjuntos incluye al cero dentro de este grupo, mientras que la Teoría de Números prefiere excluirlo.

los números naturales constituyen un conjunto cerrado para las operaciones de suma y multiplicación ya que, al operar con cualquiera de sus elementos, el resultado siempre será un número natural: 5+4=9, 8×4=32. No ocurre lo mismo, en cambio, con la resta (5-12= -7) o con la división (4/3=1,33)

Ejemplo.

Suma

Operación que consiste en tomar un número y agregarle uno, de modo que el resultado de los dos combinados aumentará independientemente si uno es más grande qué el otro.

Resta

En la resta se utiliza el término sustracción o sustraer, en donde eventualmente, eliminaremos un número de otro para obtener un resultado inferior del número más alto. Cuando un número el sustraendo es mayor que el minuendo, entonces el resultado será negativo.

Multiplicación

La multiplicación consiste en sumar un número tantas veces sea indicado por el otro número. Ambos términos son conocidos como factores y el resultado no se ve afectado según su orden. ¿Alguien recuerda la frase “El orden de los factores no altera el producto”?.

División

La división es una operación que consiste en saber el número de veces que cabe un número dentro de otro, incluso si los números no son exactos. En la división los términos que la componen son el divisor que es el número entre el que se divide, el dividendo que es el número a dividir, el resto que es el número de sobra y el cociente que es el resultado final.

b) Propiedades que se cumplen en las operaciones con Números Naturales (N).

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

(7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir,

(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

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