El curso de matemáticas ll

Introducción

El curso de matemáticas ll introduce al alumno en el estudio de dos disciplinas como son la geometría y la trigonometría, ya que por su método de razonamiento lógico permiten construir modelos matemáticos a partir de los elementos de un problema práctico que se puede presentar en la vida cotidiana, por ejemplo, calcular la cantidad de pintura necesaria para pintar figuras de diferentes formas, calcular cantidad de alambre para cercar terrenos irregulares, calcular cantidad de cartón o aluminio para fabricar cajas, etc. Mediante la práctica de estas formulaciones se desarrolla un sentido reflexivo lógico que impacta directamente sobre las demás disciplinas matemáticas y de manera indirecta sobre todas las asignaturas.

La geometría Euclidiana permite fundamentar por medio de propiedades de las figuras geométricas un carácter científico a la hora de la aplicación de dichas propiedades a la resolución de un problema teórico o práctico determinado, donde uno de las figuras geométricas fundamentales es el triángulo. El estudio de las figuras fundamentales llevará al alumno a aplicar su razonamiento en figuras más complejas.

En la unidad 1 se dan los conceptos de todos los elementos básicos de la geometría, tales como son las líneas y los ángulos, así como las características de estos para poder llevar al alumno a observar estos elementos geométricos en su entorno físico e identificarlos de manera correcta. También se presentan los diferentes sistemas de medición de ángulos, con lo que se pretende formar la habilidad para transformaciones de unidades, útiles en todos los aspectos físicos comunes.

En la unidad 2 Se enfoca sobre las figuras geométricas previa identificación de los ángulos y líneas que la forman para proporcionar al alumno herramientas para observar y aplicar criterios de semejanza y congruencia entre figuras geométricas y poder darle solución a problemas teóricos. Al final se proponen actividades de autoevaluación.

En la unidad 3 se presentan las funciones trigonométricas por medio de la razón existente entre las longitudes de los lados de triángulos rectángulos. Esto proporcionará al alumno un enfoque crítico que unido a la observación que previamente se ha logrado lo hará capaz de resolver situaciones prácticas determinadas mediante enfoques y métodos teóricos.

En la unidad 4 se presentan los teoremas de senos y cosenos para la resolución de triángulos no rectángulos aplicados en problemas físicos de fuerzas principalmente. Esto desarrollará en el alumno habilidades para las materias de física que estudiará en semestres posteriores.

UNIDAD 1. Introducción a la trigonometría

Objetivo de la unidad.- El estudiante resolverá problemas geométricos de tipo teórico o práctico de distintos ámbitos, mediante la aplicación de técnicas de medición de ángulos en el plano y su clasificación, así como las correspondientes a la medición de triángulos utilizando razonamientos analógicos y deductivos para recuperar los conceptos de semejanza y congruencia, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

Panorama General:

Sin duda alguna, la figura geométrica más simple es el triángulo. Sin embargo, muy pocas veces se analiza la importancia de los elementos que forman a esta figura, las líneas y más aún, los elementos que constituyen a las líneas, o sea los puntos. En esta unidad se presentan a estos elementos, sus nombres y su función dentro de la geometría, Se analizarán los ángulos que forman dos rectas y su clasificación y el modo de representarlos según el sistema que se requiera.

Se analizarán las propiedades de los triángulos como figura geométrica fundamental y su proyección para las figuras más complejas como ventaja para la correcta interpretación de problemas teórico-prácticos para su resolución.

1.1. Ángulos en el plano

Objetivo temático.- El estudiante resolverá problemas teóricos o prácticos relacionados con ángulos en el plano, mediante la identificación, clasificación y medición de de los mismos.

1.1.1. Definiciones

Ángulo.- Es la abertura formada por dos segmentos de recta llamados lados que tienen origen común llamado vértice. Los ángulos se pueden representar con letras mayúsculas o letras griegas situadas en el vértice y tres letras mayúsculas que representan los puntos de los segmentos de recta de tal forma que la letra de en medio corresponda al vértice.

Figura 1. Ángulos a) A , b)  , c) MNP

Bisectriz.- Es el segmento de recta que parte del vértice y divide al ángulo en dos partes o ángulos iguales. En la figura 1 c), el segmento de recta NQ es la bisectriz del ángulo MNP.

1.1.2 Clasificación de los ángulos

1.1.2.1 Por sus medidas

Los ángulos, según sus medidas se dividen en:

Agudo.- Es aquel que mide menos de 90 O. En la figura 1 a) se muestra este ángulo.

Recto.- Es aquel que mide 90 O. En la figura 1 c) se muestra el ángulo recto MNP.

Obtuso.- Es aquel que mide más de 90 O. En la figura 1 b) se muestra este ángulo.

Llano.- Es aquel que mide 180 O. También se le conoce como ángulo extendido.

Completo.-Este ángulo mide 360 O. Está formado solo por un segmento de recta que hace las veces de los dos lados del ángulo. También se le conoce como ángulo de una vuelta. En la figura 2 b) se muestra este ángulo.

Figura 2. Ángulos a) Llano , b) Completo

1.1.2.2 Por la posición de sus lados

Los ángulos, según la posición de sus lados se denominan:

Opuestos por el vértice.- Son dos ángulos que se forman por los mismos segmentos de recta que se prolongan a través del vértice y se ubican en lados opuestos a dicho vértice. En la figura 3 a) los ángulos DOA y COB son opuestos por el vértice. También lo son los ánulos COA y DOB.

Adyacentes.- Son dos ángulos que tienen un lado común y el otro lado de cada ángulo se forma mediante una línea recta. Estos dos ángulos suman 180O. En la figura 3 b) los ángulos AOC y COB son de este tipo, donde el lado común es la recta OC y la línea recta que forma el otro lado para cada ángulo es AOB.

Figura 3. Ángulos a) opuestos por el vértice, b) Adyacentes

1.1.2.3 Por la suma de sus medidas

Dos ángulos que suman sus medidas se denominan:

Suplementarios.- Son dos ángulos que al sumarse forman un ángulo de 180 O. Si por ejemplo, en la figura 3 b) el ángulo AOC midiera 60 O, mientras que el ángulo COB midiera 120 O sumarían entre los dos un ángulo llano, o sea, 180 O.

Complementarios.- Son dos ángulos que al sumarse forman un ángulo recto, es decir, 90 O. Si por ejemplo en la figura 1 c) el ángulo PNQ en lugar de medir 45 O midiera 50 O y el ángulo QNM midiera 40 O en lugar de 45 sumarían entre los dos 90 O.

1.1.3 Medición de ángulos en el sistema sexagesimal

Medir es comparar una magnitud física con otra que se toma como patrón. Los sistemas utilizados para la medición de los ángulos son el sistema radial que tiene como unidad patrón el Radián y el sistema sexagesimal que tiene como unidad patrón el grado sexagesimal, el cual es el más comúnmente utilizado.

En el sistema sexagesimal se divide a la circunferencia en 360 partes iguales, denominando a cada división como grado. Cada uno de estos grados se divide a su vez en 60 partes iguales llamadas minutos y estos a su vez se dividen en 60 segundos. Los símbolos para estas unidades son grado ( O ), minuto ( ‘ ) y segundo ( ‘’ ). De esta manera, si un ángulo mide 37 grados, 15 minutos y 55 segundos se escribe de la siguiente manera: 37 O 15 ‘ 55 ‘’.

Un ángulo expresado en forma decimal se puede representar en su forma sexagesimal mediante razones de proporcionalidad. Se debe recordar que una razón de proporcionalidad directa se expresa en la forma a:b = c:d, donde a:b representa la relación entre las cantidades en los sistemas a relacionar, lo mismo que c:d.

Ejemplo 1.- Expresar el ángulo 37.48 O en grados, minutos y segundos.

Solución.- Como deseamos convertir la parte decimal del ángulo en minutos, la relación entre los sistemas angulares es 1O : 60 ’, que se lee “ Un grado es a 60 minutos ”. La relación entre la parte decimal del ángulo ( 0.48 ) con la cantidad en minutos es una incógnita, por lo que se expresa 0.48 O : X ‘, que se lee “ 0.48 grados es a X minutos “.

La relación entre las cantidades se plantea de la siguiente manera:

Se multiplican las cantidades de manera cruzada igualando los productos Lo que resulta minutos.

Como aun existe una cantidad decimal en los minutos, se realiza el mismo procedimiento. Es decir, la relación entre sistemas es 1 ‘ : 60 ‘’ ; la relación entre la parte decimal y la incógnita es 0.8 ‘ : X ‘’. De

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