Cálculo Diferencial
jherre518 de Julio de 2013
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
JORGE ELIECER RONDON DURAN
AUTOR
100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
OSCAR CARRILLO
(Director Nacional)
WILSON CEPEDA
Acreditador
BOGOTÁ D.C.
MARZO 2011
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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO
El presente módulo fue diseñado y elaborado en el año 2006 por Jorge Eliécer Rondon Duran y
Francisco Ortegón Camacho, como la primera versión. Las necesidades y actualizaciones,
exigieron diseñar y alaborar una nueva versión que presentará las temáticas de manera más
racional y con gran profundidad, diversos ejemplos, ejercicios diversos que permitan identificar
la gran utilidad que tiene el cálculo diferencial, esto motivo una nueva versión.
Como novedades de este material es la presentación por unidades, capítulos y lecciones, que
permite una fácil ubicación de temáticas específicas, según el interes del estudiante. Además,
el componente práctico al final de cada unidad.
Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar públicamente bajo las condiciones
siguientes:
• Reconocimiento. Debe reconocer los créditos de la obra de la manera especificada por el
autor. (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace
de su obra).
• No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales.
• Sin obras derivadas. No se puede alterar, transformar o generar una obra derivada a
partir de esta obra.
• Reutilización o Distribución: Se tiene que dejar ver claramente los términos de la licencia
de esta obra.
• Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los
derechos de autor
• Nada en esta menoscaba o restringe los derechos morales del autor.
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
INTRODUCCIÓN
El presente modulo esta dirigido a estudiantes de programas de pregrado que oferta la UNAD,
bajo la modalidad de educación superior a distancia, en sus diferentes metodologías.
El material esta estructurado en Tres unidades didácticas, las cuales presentan las temáticas
macro del curso académico. El contenido de cada una de las partes fue seleccionado,
teniendo en cuenta los saberes mínimos que se esperaría debe alcanzar un estudiante de la
Universidad Nacional Abierta y a Distancia en el campo del Cálculo Deferencial.
La propuesta permite que los estudiantes reconozcan los conocimientos mínimos del curso en
mención, que le permita resolver situaciones propias del mismo y además, abordar posteriores
temáticas que requieran de éstos conocimientos.
Para el mejor aprovechamiento de este material, se recomienda que el estudiante posea como
conocimientos previos: Álgebra, Trigonometría, Geometría Analítica, Fundamentación en
Geometría plana y Espacial.
El modulo se caracteriza porque en cada lección se presentar ejemplos modelos del tema en
estudio, al final de cada capitulo se exponen ejercicios de nivel medio - bajo de complejidad;
con respuesta, que permite a los estudiantes contextualizarse en diversas àreas del
conocimiento, con el fin de fortalecer las temáticas propias del curso. Al final de cada unidad se
presenta una Autoevaluación de un nivel medio-alto, las cuales permiten verificar los alcances
de los estudiantes en las temáticas analizadas y detectar las debilidades y así centrarse en
éstas, con el fin de alcanzar las metas propuestas.
Finalmente, el Material pretende servir como guía de aprendizaje autónomo, se recomienda
apoyar este proceso por medio de lecturas especializadas, ayudas audiovisuales, visitas a sitios
Web y prácticas de laboratorio; entre otros, así lograr una efectiva comprensión, interiorización y
aplicación de las temáticas estudiadas.
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
INDICE DE CONTENIDO
UNIDAD UNO: Análisis de Sucesiones y Progresiones 6
CAPÍTULO UNO: LAS SUCESIONES. 7
Lección No 1: Generalidades 7
Lección No 2: Sucesiones Monótonas 11
Lección No 3: Sucesiones Acotadas 13
Lección No 4: Sucesiones Convergentes 17
Lección No 5: Límite de una Sucesión 22
Lección No 6: Sucesiones Divergentes 24
Ejercicios 25
CAPÍTULO DOS: LAS PROGRESIONES 26
Lección No 7: Progresiones Aritméticas 26
Lección No 8: Progresiones Geométricas 30
Ejercicios 36
Autoevaluación Unidad Uno 37
Laboratorio. 38
UNIDAD DOS: Análisis de Límites y Continuidad 39
CAPÍTULO TRES: GENERALIDADES DE LÍMITES 40
Lección No 9: Conceptualización Intuitiva de Límite 40
Lección No 10: Conceptualización Básica de Límite 40
Lección No 11: Conceptualización Formal de Límite 41
Lección No 12: Propiedades de Límites 44
Lección No 13: Evaluar un Límite 45
Ejercicios 48
CAPÍTULO CUATRO: LÍMITES DE FUNCIONES Y ASÍNTOTAS 49
Lección No 14: Límites al infinito 49
Lección No 15: Límites Infinitos 54
Lección No 16: Formas Indeterminadas 56
Lección No 17: Formas NO Indeterminadas 61
Lección No 18: Límite de Funciones Trigonométricas 62
Lección No 19: Límites Unilaterales 65
Lección No 20: Límite de una Función 68
Lección No 21: Asíntotas 69
Ejercicios 72
CAPÍTULO CINCO: CONTINUIDAD 74
Lección No 22: Continuidad en un Punto 74
Lección No 23: Continuidad en un Intervalo 76
Lección No 24: Discontinuidad 79
Ejercicios 83
Autoevaluación Unidad Dos 84
Laboratorio. 85
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
UNIDAD TRE S: Análisis de las Derivadas y sus Aplicaciones 88
CAPÍTULO SEIS: FUNDAMENTACIÓN SOBRE LAS DERIVADAS 89
Lección No 25: Principio Geométrico sobre la Derivada 89
Lección No 26: Principio Físico sobre la Derivada 92
Lección No 27: Incrementos 95
Lección No 28: Definición Formal de la Derivada 96
Lección No 29: Derivadas Básicas 102
Ejercicios 110
CAPÍTULO SIETE: DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS 112
Lección No 30: Derivada de Suma y Resta de Funciones 112
Lección No 31: Derivada de Producto de Funciones 115
Lección No 32: Derivada de Cociente de Funciones 118
Lección No 33: Derivada de la Función Compuesta 122
Lección No 34: Derivada de la Función Implícita 126
Ejercicios 130
CAPÍTULO OCHO: DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES 131
Lección No 35: Derivada De la Función Exponencial y Función Logarítmica 131
Lección No 36: Derivada de las Funciones Trigonométricas 138
Lección No 37: Derivada de las Funciones Hiperbólicas 144
Ejercicios 150
CAPÍTULO NUEVE: DERIVADA ORDEN SUPERIOR Y FUNCIONES INVERSAS 151
Lección No 38: Derivada de Orden Superior 151
Lección No 39: Derivada de Funciones Trigonométricas Inversas 155
Lección No 40: Derivada de Funciones Hiperbólicas Inversas 160
Ejercicios 163
CAPÍTULO DIEZ. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL 164
Lección No 41: Teorema de Rolle 164
Lección No 42: Teorema del Valor Medio 167
Ejercicios 171
CAPÍTULO ONCE: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 172
Lección No 43: Razones de Cambio Relacionadas 172
Lección No 44: Formas Indeterminadas 176
Lección No 45: Máximos y Mínimos de una Función 181
Lección No 46: Optimización 188
Lección No 47: Análisis de Graficas 195
Lección No 48: Derivadas en la Física 203
Lección No 49: Derivadas en las Ciencias Económicas 206
Lección No 50: Derivadas en la Estadística 213
Autoevaluación Unidad Tres 225
Laboratorio. 230
Información de Retorno 231
Bibliografía 258
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UNIDAD UNO
ANÁLISIS DE SUCESIONES Y PROGRESIONES
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
CAPÍTULO UNO: LAS SUCESIONES:
Lección No 1: Generalidades:
En muchos contextos hacemos referencia a las sucesiones, El incremento bacteriano a través
del tiempo, el aumento de la tasa de interés a través del tiempo, otros. Una sucesión esta
referido a secuencia,
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