Ensayo sobre Lo escuché y lo olvidé, lo vi y lo entendí, lo hice y lo aprendí

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“Lo escuché y lo olvidé, lo vi y lo entendí, lo hice y lo aprendí” Confucio.

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1. Resolver la relación de problemas indicados, correspondientes a:

TEXTO: DYNAMICS OF STRUCTURES, 3RD ED.

AUTOR: ANIL K. CHOPRA

Problema 8.2

Para el sistema de Cuerpos rígidos mostrado en la figura 8.2:

1. Formule la Ecuación del movimiento que define la rotación en O.
2. Determine la frecuencia natural y coeficiente de amortiguamiento.
3. Determine la respuesta de desplazamiento  para  (Función delta de Dirac).[pic 12][pic 13]

[pic 14]

Solución:

1. Formule la Ecuación del movimiento que define la rotación en O.

En primer lugar necesitamos determinar cómo va a deformarse el sistema, al tratarse de barras rígidas estas no van a deformarse, en el sentido que mantendrán su forma recta luego del desplazamiento causado por la aplicación de la carga P(t).

[pic 15][pic 16]

Siendo la coordenada de desplazamiento generalizado ϴ(t).

Procedemos a elaborar el Diagrama de cuerpo libre para luego escribir la ecuación de equilibrio del sistema:

[pic 17]

Recordamos:

Para una barra:

     I1 será equivalente a:[pic 18]

[pic 19]

Para una sección rectangular:[pic 20]

E I2:

[pic 21]

[pic 22]

Aplicando sumatoria de momentos respecto al punto O igual a cero (tomando en cuenta que cada fuerza depende del instante “t” y que para cada instante “t” se equilibran entre sí), se tiene:

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

b) Determine la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento

Para encontrar la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento primero debemos hallar los parámetros generalizados del sistema. Comparando con la Ecuación generalizada para sistemas de un grado de libertad se tiene:

[pic 28]

Los parámetros generalizados del sistema son:

Masa Generalizada

[pic 29]

Amortiguamiento Generalizado

[pic 30]

Rigidez Generalizada

[pic 31]

Carga Generalizada

[pic 32]

La frecuencia natural está dada por:

[pic 33]

El coeficiente de amortiguamiento:

[pic 34]

1. Determine la respuesta de desplazamiento  para  (Función delta de Dirac).[pic 35][pic 36]

La función delta de Dirac, denominada también función de impulso, es una función generalizada que viene definida por la siguiente fórmula integral:

 [pic 37]

También se cumple que:

[pic 38]

Para un impulso de muy corta duración aplicado a un sistema sub-amortiguado (se asume), la respuesta tiene la forma:

[pic 39]

Donde (evaluando al sistema en un gran intervalo de tiempo):

[pic 40]

Además

[pic 41]

Y

[pic 42]

Entonces:

[pic 43]

También:

[pic 44]

[pic 45]

Reemplazando se tiene:

[pic 46]

[pic 47]

Finalmente:

[pic 48]

[pic 49]

Problema 8.4

La barra rígida de la figura 8.4 con una bisagra en el centro está soportada por una fundación viscoelástica, la que puede ser modelada por una rigidez k y un coeficiente de amortiguamiento c por unidad de longitud. Empleando la rotación de la barra como coordenada generalizada:

1. Formule la ecuación del movimiento.
2. Determine la frecuencia natural de vibración y la proporción de amortiguamiento.

[pic 50]

Solución:

1. Formule la ecuación del movimiento.

Necesitamos determinar cómo va a deformarse el sistema, al tratarse de una barra rígida esta no va a deformarse, en el sentido que mantendrá su forma recta luego del desplazamiento causado por la aplicación de las cargas P(t).

[pic 51]

El diagrama de cuerpo libre será entonces:

[pic 52]

La reacción que se genera en el medio viscoelástico es distribuida al igual que la carga y en sentido opuesto a la misma. Esto tiene sentido ya que si analizamos un punto a una distancia “x”, se habrá desplazado una distancia xϴ, al que corresponde un valor de fuerza de inercia, elástica y de amortiguamiento. Sin embargo si tomamos un punto a (x+dx) se habrá desplazado (x+dx)ϴ y a este desplazamiento corresponde un valor mayor de fuerza de inercia, elástica y de amortiguamiento.

Tomando como origen el punto O se tiene que la ecuación de la carga P(x,t) es la ecuación de una recta que debe cumplir con que:

En x=0 -> P(x,t)=0 y en x=L/2 - > P(x,t)=p(t)

[pic 53]

[pic 54]

Para plantear la ecuación del movimiento debemos encontrar los parámetros generalizados:

Por definición:

Masa Generalizada

[pic 55]

Nótese que el colocar los parámetros de la integral de 0 a L significa en toda la longitud donde se tenga masa distribuida. Al no tener masas puntuales los términos de sumatoria se eliminan.

Integramos desde –L/2 hasta L/2 debido a que el origen se está tomando en el centro de la barra.

[pic 56]

Amortiguamiento Generalizado

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Al no tenerse amortiguadores puntuales:

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Rigidez Generalizada

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Al no considerar la rigidez flexural, ni tenerse resortes puntuales ni fuerza axial, se tiene:

[pic 60]

Carga Generalizada

[pic 61]

Ya que no se tienen cargas puntuales:

[pic 62]

[pic 63]

La Ecuación del movimiento tiene la forma:

[pic 64]

Reemplazando:

[pic 65]

1. Determine la frecuencia natural de vibración y la proporción de amortiguamiento.

La frecuencia natural está dada por:

[pic 66]

El coeficiente de amortiguamiento:

[pic 67]

Problema 8.5

Para el sistema de cuerpo rígido que se muestra en la figura P8.5:

a) Elija una coordenada generalizada.

b) Formule la ecuación de movimiento.

c) Determine la frecuencia de vibración natural y la razón de amortiguamiento.

[pic 68]

Solución:

1. Elija una coordenada generalizada

Como en los ejercicios anteriores, necesitamos determinar cómo va a deformarse el sistema, en primer lugar se trata de barras rígidas, por lo que no se deformarán (mantendrán su forma recta) luego del desplazamiento generado por la carga P(t). Se tendrá entonces:

[pic 69]

Escogemos como coordenada generalizada el desplazamiento del punto C, al que llamaremos “Z”. Por otro lado es conveniente definir dos sistemas de coordenadas, desde el punto A hacia la derecha lo denotaremos como “x’” y desde el punto “D” hacia la izquierda como “x”. Esto se hace para hacer más simples los cálculos y luego compatibilizar ambos sistemas, obteniendo todo en función de una sola variable, en este caso la coordenada generalizada “Z”.

1. Formule la ecuación de movimiento.

Las Ecuaciones de las rectas que describen las barras luego de desplazarse está dada por:

[pic 70]

[pic 71]

Luego dibujaremos el Diagrama de cuerpo libre para identificar las fuerzas que están actuando en el sistema:

[pic 72]

Nótese que la fuerza que aparece en el resorte que une las dos barras es k(z-z’) porque la deformación en el resorte en realidad es (z-z’) y al multiplicarlo por la rigidez del resorte obtenemos la fuerza elástica que se genera.

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

Primero analizamos la barra AB:

[pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

Ahora que tenemos a Z’ en función de Z podemos analizar la otra barra y colocar todo en función de la coordenada generalizada Z:

...