Ensayo sobre Lo escuché y lo olvidé, lo vi y lo entendí, lo hice y lo aprendí
Enviado por leandro59 • 21 de Junio de 2017 • Trabajos • 1.888 Palabras (8 Páginas) • 183 Visitas
[pic 1][pic 2][pic 3]
[pic 4][pic 5][pic 6]
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[pic 8]
[pic 9][pic 10]
“Lo escuché y lo olvidé, lo vi y lo entendí, lo hice y lo aprendí” Confucio.
[pic 11]
- Resolver la relación de problemas indicados, correspondientes a:
TEXTO: DYNAMICS OF STRUCTURES, 3RD ED.
AUTOR: ANIL K. CHOPRA
Problema 8.2
Para el sistema de Cuerpos rígidos mostrado en la figura 8.2:
- Formule la Ecuación del movimiento que define la rotación en O.
- Determine la frecuencia natural y coeficiente de amortiguamiento.
- Determine la respuesta de desplazamiento para (Función delta de Dirac).[pic 12][pic 13]
[pic 14]
Solución:
- Formule la Ecuación del movimiento que define la rotación en O.
En primer lugar necesitamos determinar cómo va a deformarse el sistema, al tratarse de barras rígidas estas no van a deformarse, en el sentido que mantendrán su forma recta luego del desplazamiento causado por la aplicación de la carga P(t).
[pic 15][pic 16]
Siendo la coordenada de desplazamiento generalizado ϴ(t).
Procedemos a elaborar el Diagrama de cuerpo libre para luego escribir la ecuación de equilibrio del sistema:
[pic 17]
Recordamos:
Para una barra:
I1 será equivalente a:[pic 18]
[pic 19]
Para una sección rectangular:[pic 20]
E I2:
[pic 21]
[pic 22]
Aplicando sumatoria de momentos respecto al punto O igual a cero (tomando en cuenta que cada fuerza depende del instante “t” y que para cada instante “t” se equilibran entre sí), se tiene:
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
b) Determine la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento
Para encontrar la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento primero debemos hallar los parámetros generalizados del sistema. Comparando con la Ecuación generalizada para sistemas de un grado de libertad se tiene:
[pic 28]
Los parámetros generalizados del sistema son:
Masa Generalizada
[pic 29]
Amortiguamiento Generalizado
[pic 30]
Rigidez Generalizada
[pic 31]
Carga Generalizada
[pic 32]
La frecuencia natural está dada por:
[pic 33]
El coeficiente de amortiguamiento:
[pic 34]
- Determine la respuesta de desplazamiento para (Función delta de Dirac).[pic 35][pic 36]
La función delta de Dirac, denominada también función de impulso, es una función generalizada que viene definida por la siguiente fórmula integral:
[pic 37]
También se cumple que:
[pic 38]
Para un impulso de muy corta duración aplicado a un sistema sub-amortiguado (se asume), la respuesta tiene la forma:
[pic 39]
Donde (evaluando al sistema en un gran intervalo de tiempo):
[pic 40]
Además
[pic 41]
Y
[pic 42]
Entonces:
[pic 43]
También:
[pic 44]
[pic 45]
Reemplazando se tiene:
[pic 46]
[pic 47]
Finalmente:
[pic 48]
[pic 49]
Problema 8.4
La barra rígida de la figura 8.4 con una bisagra en el centro está soportada por una fundación viscoelástica, la que puede ser modelada por una rigidez k y un coeficiente de amortiguamiento c por unidad de longitud. Empleando la rotación de la barra como coordenada generalizada:
- Formule la ecuación del movimiento.
- Determine la frecuencia natural de vibración y la proporción de amortiguamiento.
[pic 50]
Solución:
- Formule la ecuación del movimiento.
Necesitamos determinar cómo va a deformarse el sistema, al tratarse de una barra rígida esta no va a deformarse, en el sentido que mantendrá su forma recta luego del desplazamiento causado por la aplicación de las cargas P(t).
[pic 51]
El diagrama de cuerpo libre será entonces:
[pic 52]
La reacción que se genera en el medio viscoelástico es distribuida al igual que la carga y en sentido opuesto a la misma. Esto tiene sentido ya que si analizamos un punto a una distancia “x”, se habrá desplazado una distancia xϴ, al que corresponde un valor de fuerza de inercia, elástica y de amortiguamiento. Sin embargo si tomamos un punto a (x+dx) se habrá desplazado (x+dx)ϴ y a este desplazamiento corresponde un valor mayor de fuerza de inercia, elástica y de amortiguamiento.
Tomando como origen el punto O se tiene que la ecuación de la carga P(x,t) es la ecuación de una recta que debe cumplir con que:
En x=0 -> P(x,t)=0 y en x=L/2 - > P(x,t)=p(t)
[pic 53]
[pic 54]
Para plantear la ecuación del movimiento debemos encontrar los parámetros generalizados:
Por definición:
Masa Generalizada
[pic 55]
Nótese que el colocar los parámetros de la integral de 0 a L significa en toda la longitud donde se tenga masa distribuida. Al no tener masas puntuales los términos de sumatoria se eliminan.
Integramos desde –L/2 hasta L/2 debido a que el origen se está tomando en el centro de la barra.
[pic 56]
Amortiguamiento Generalizado
[pic 57]
Al no tenerse amortiguadores puntuales:
[pic 58]
Rigidez Generalizada
[pic 59]
Al no considerar la rigidez flexural, ni tenerse resortes puntuales ni fuerza axial, se tiene:
[pic 60]
Carga Generalizada
[pic 61]
Ya que no se tienen cargas puntuales:
[pic 62]
[pic 63]
La Ecuación del movimiento tiene la forma:
[pic 64]
Reemplazando:
[pic 65]
- Determine la frecuencia natural de vibración y la proporción de amortiguamiento.
La frecuencia natural está dada por:
...