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Bases y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base

La base de un espacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que se extiende sobre un espacio vectorial determinado y es linealmente independiente en el mismo. Esto es, si tenemos un espacio vectorial V y tenemos S como un subconjunto de este espacio vectorial, el cual consiste de n vectores de la forma v¬1¬, v¬2¬, v¬3¬ … v¬n¬ entonces podemos definir que este subconjunto es la base del espacio vectorial dado, si cumple las dos condiciones siguientes:

1. Este subconjunto se extiende a través del espacio vectorial dado. 2. S es subconjunto de V conteniendo los vectores de V, los cuales son linealmente independientes.

Con la ayuda de una ecuación lineal podemos representar tal conjunto como,

Aquí v es un vector que yace en el espacio vectorial dado y los vectores n representados como v-1¬, v¬2¬, v¬3¬ … v¬n¬ forman parte de la base del espacio vectorial dado.

Existen numerosos ejemplos de la base de un espacio vectorial. Imagina tres dimensiones las cuales constan de dos vectores. Imagina que estos vectores no son planos. El plano definido con la ayuda de estos dos vectores sólo formará una base para los espacios tridimensionales actuales. Esto es porque si definimos una combinación lineal con la ayuda de estos dos vectores, entonces este se encontraría definitivamente dentro el plano mismo e inversamente también es posible expresar un vector dentro del plano como una combinación lineal de ambos. Ahora extendamos esta definición para formar la base de la definición de la dimensión del espacio vectorial. Imaginemos que tenemos un espacio vectorial V y sea S la base de este espacio vectorial. Ahora coloquemos un número limitado de vectores en la base de espacio vectorial S, entonces definiríamos este espacio vectorial dado como un espacio vectorial de dimensión finita y la dimensión real se obtendría mediante calcular el número total de vectores en la base de ese espacio vectorial.

En caso de que tengamos un número infinito de vectores en la base del espacio vectorial dado, entonces llamaremos al espacio vectorial un espacio vectorial de dimensión infinita, y la dimensión de tal espacio vectorial es y la dimensión de un espacio vectorial nulo es el valor 0.

Puede haber más de una base para un espacio vectorial dado. Esto significaría que es posible definir los vectores dentro de un espacio vectorial dado como la sumatoria de los vectores de ambas bases. Sea V un espacio vectorial y S la base de este espacio vectorial. Ahora definamos todos los vectores v V en términos de los elementos finitos de esta base. Definamos ahora otra base para este espacio vectorial. Ahora bien, si intentamos redefinir los elementos del espacio vectorial como una sumatoria de los elementos

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