Método de Lagrange.

Método de Lagrange.

Este informe está centrada en plantearse la resolución de las ecuaciones casi lineales de primer orden mediante el Método de Lagrange. El método equivale a plantearse directamente la solución cartesiana, y es más rico en interpretaciones geométricas que el de las características, aunque el método de las características da una mejor representación de las curvas características, por lo que concluimos que ambos métodos se complementan.

El modelo lineal de la ecuación de conservación vuelve a ser el ejemplo obligado, solo que ahora lo resolvemos con el método de Lagrange (ML). Otros ejemplos con interpretaciones geométricas estimulantes son planteados. El ML también puede ser un camino que nos permita obtener vías cómodas de integración del modelo.

El método de Lagrange para 2 y n variables puede consultarse las referencias básicas de la lección es el Capítulo 5, libro “Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional” de L. Elsgoltz, y en el libro “Ecuaciones Diferenciales” de Puig Adam, Escuela de Ingenieros Industriales 1967.

Método de Lagrange con 2vi

Dada la EDP10_CL_2VI de la forma:

donde a b c, , C G1( ) , G es un abierto de

El método de Lagrange (ML) se plantea obtener la solución a partir de la forma canónica del sistema de EDO equivalente a la ecuación tipo EDP10_CL_2VI. Ver la ayuda de la clase anterior:

El ML resuelve directamente esta forma canónica buscando en el sistema anterior dos integrales primeras independientes. De estas relaciones se obtienen dos integrales primeras:

Congruencia curvas

si son linealmente independientes, su intersección determina la congruencia de curvas o solución general cartesiana de la ecuación, también llamadas curvas características de la ecuación de partida.

La congruencia se puede establecer como una familia mono paramétrica de curvas, estableciendo una dependencia continua entre los parámetros C1 y C2:

que sustituyendo se puede poner como:

, donde es una función arbitraria de clase C1, que si cumple 0, represente una relación funcional válida.

Ej1_c3: Resolver por el ML la ecuación siguiente:

El sistema de EDO equivalente es:

, integrándole nos queda, la primera relación es la

proyección de las curvas características. La solución general implícita es:

, que con la ayuda del teorema de existencia y unidad de funciones implícitas, podremos obtener la solución general en su forma explícita:

.

Veamos cual es la solución de los PCH siguientes:

1. Sea la condición inicial: u x x( ,2 )= f x( ). Podemos proceder de dos formas: Imponiéndola a la solución general conoceremos el valor de la función arbitraria de la solución general: arb (x- 2cx) =f x( x) . Tomando

Por lo que la solución particular del problema

Resolvieno el sistema de ecuaciones siguientes:

De la segunda y cuarta relaciones y de la primera y tercera por lo que así que

2.

De la primera y tercera relación C1=0 , mientras que de la segunda y cuarta C2 =0

C2=0, al no existir relación funcional de C1, C2, esta queda indeterminada.

x

3. u x( , ) x: La última ecuación es u=x, con lo que resulta que C1 tiene que ser c

igual a x, lo que es imposible, no existe solución del PCH.

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