CONSTANTE DE INTEGRACION

Precisando la integración es la operación opuesta a la diferenciación. Al encontrar la derivada encontramos la pendiente de la función dada. Cuando integramos encontramos un conjunto de funciones que hacen valida esa derivada, pero como tú sabes al tener varias pendientes es posible desplazarlas arriba o abajo en el plano cartesiano.

La constante de integración es precisamente ese valor que se agrega a la función que la desplaza en los ejes cartesianos. Por ejemplo la integral de 0 seria esa constante K cuyo valor se determina dados los limites superiores e inferiores de la integral, siendo el conjunto de funciones cuya pendiente sea 0.

La constante de integración (c), se le pone a todas las integrales indefinidas, ya que hay una infinidad de funciones que tienen la misma derivada, puesto que sólo varían en una constante. Por ejemplo:

derivada de x²= 2x

derivada de x² - 17= 2x

derivada de x² + ê= 2x,

y así sucesivamente. Si te das cuenta, las funciones son diferentes, sin embargo tienen la misma derivada; por lo que al integrar las derivadas (diferenciales más bien), es necesario agregarle la constante de integración c, pues en una integral indefinida no se sabe cuál es la constante original de la función.

METODOS DE INTEGRACION

*INTEGRACION DIRECTA:

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.

Ejemplo

Calcular la integral .

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x). Por tanto:

Ejemplo

Calcular la integral .

Una fórmula estándar sobre derivadas establece que . De este modo, la solución del problema es

*INTEGRACION POR SUSTITUCION:

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Procedimiento práctico

Supongamos que la integral a resolver es:

En la integral reemplazamos con (u):

(1)

Ahora necesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en función de :

Tenemos que por tanto derivando se obtiene

Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.

En este caso, como se hizo :

(límite inferior)

(límite superior)

Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

*INTEGRACION POR PARTES:

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

.

.

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

* Para elegir la función se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas:

...