El estudio del Álgebra

ALGEBRA El Álgebra es una rama de las matemáticas que estudia los números y sus propiedades en forma general. No necesita el valor de un número para poder saber sus propiedades y operarlo, para ello lo sustituye por un símbolo que generalmente es una letra.

Al empezar con el estudio del Álgebra aparecen nuevas expresiones, a las que llamamos expresiones algebraicas, y conviene nombrarlas para identificarlas correctamente durante cualquier intercambio de información.

De este modo, al conjunto de números y letras que representan operaciones entre cantidades se llama expresión algebraica. Esta expresión se puede separar en términos; Los términos se distinguen uno de otro porque están separados por un signo de mas (+) o un signo de menos (-), esto significa que entre letras y números sólo puede haber multiplicaciones y divisiones para agruparlos.

Dentro de cada término distinguimos números que llamamos Coeficientes y Letras que llamamos Incógnitas o variables. Estas incógnitas o variables pueden tener o no un exponente, que es un número que se escribe más pequeño y en la parte superior derecha de la incógnita. Este exponente representa la potencia de esa incógnita y a partir de éstos LA GEOMETRIA L a geometría es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el espacio o en el plano. En su desarrollo, la geometría utiliza nociones como puntos, rectas, planos y curvas, entre otros.

Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría acude a los sistemas formales o axiomáticos, que son artificios matemáticos formados por símbolos que, al unirse entre sí, generan cadenas. Estas cadenas obedecen a ciertas reglas, por lo que, a su vez, pueden producir nuevas cadenas.

Los axiomas son afirmaciones o proposiciones que relacionan conceptos. Estos axiomas dan lugar a teorías que pueden ser comprobadas gracias a instrumentos como el compás y el teodolito.

Entre las distintas corrientes de la geometría, se destaca la geometría algorítmica, que utiliza el álgebra y sus cálculos para resolver problemas de la extensión.

La geometría analítica, por su parte, se encarga de estudiar las figuras a partir de un sistema de coordenadas y de los métodos propios del análisis matemático.

La geometría descriptiva busca resolver los problemas del espacio con operaciones que se efectúan en un plano, donde se representan las figuras de los sólidos.

Por últimos, podemos agrupar tres ramas de la geometría. La geometría proyectiva se encarga de las proyecciones de las figuras sobre un plano; la geometría del espacio se centra en las figuras cuyos puntos no pertenecen todos al mismo plano; mientras que la geometría plana considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano.

LOS NUMEROS ENTEROS Los números enteros abarcan a los números naturales (los que se utilizan para contar los elementos de un conjunto), incluyendo al cero y a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor). Por lo tanto, los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal (es decir que 3,28, por ejemplo, no es un número entero).

Los números enteros negativos tienen diversas aplicaciones prácticas. Con ellos se puede señalar una temperatura bajo cero (“En estos momentos, la temperatura en Bariloche es de -10º”) o una profundidad bajo el nivel del mar (“El barco hundido fue hallado a -135 metros”).

Es importante tener en cuenta que los números enteros son el resultado de las operaciones más básicas (suma y resta), por lo que su utilización se remonta a la antigüedad. Los matemáticos hindúes del siglo VI ya postulaban la existencia de números negativos.

La noción de números enteros fue establecida ya que se trata de números que permiten representar unidades no divisibles, como una persona o un país (no puede decirse “En mi casa viven 4,2 personas” o “El próximo campeonato mundial tendrá la participación de 24,69 países”). Los números con decimales, en cambio, pueden indicar unidades divisibles.

LOS NUMEROS RACIONALES Los números racionales son aquellos que expresan el cociente entre dos números enteros. La noción de racional proviene de ración (parte de un todo). Los números racionales están formados por los números enteros (que pueden expresarse como cociente: 5= 5/1, 38=38/1) y los números fraccionarios (los números racionales no enteros: 2/5, 8/12, 69/253).

Es importante tener en cuenta que, mientras que en los números enteros cada número tiene un siguiente (-1, 0, 1, 2, 3, 4…), existen infinitos números entre cada número racional.

Los números racionales permiten expresar medidas. Cuando se compara una cantidad con su unidad, se obtiene, por lo general, un resultado fraccionario. Por ejemplo: Si divido una pizza en dos partes, tengo dos mitades. Cada porción será 1/2 de la pizza (una parte de dos). En caso de tomar ambas porciones, volveré a tener la pizza entera (2/2= 1).

Los números racionales pueden ser sumados, restados, multiplicados o divididos (excepto por cero). El resultado de estas operaciones será siempre otro número racional. Como los números enteros pueden ser positivos o negativos, se aplica la Ley de Signos. La forma de concretar las operaciones variará de acuerdo a la existencia o ausencia de igual denominador en las fracciones.

Cabe destacar que los números racionales ya se utilizaban en el Antiguo Egipto. Los matemáticos de aquella época usaban fracciones unitarias, que son aquellas cuyos denominadores son números enteros positivos. En los casos en que necesitaban fracciones con numeradores no unitarios, los egipcios apelaban a la suma de fracciones unitarias distintas (conocidas como fracción egipcia).

LOS NUMEROS IRRACIONALES Un número irracional es aquél que no es un número entero y no puede expresarse como división exacta de dos números enteros. Por ejemplo los números 3, 1890 ó 2'5 = 5 / 2 no son números irracionales. Un número irracional es un número con infinitos decimales que en ningún caso se repiten de forma periódica. El número 1'33333... con infinitos decimales iguales a 3 tampoco es un número irracional ya que realmente es el resultado de dividir

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